Issn 2181-1296 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal

94

---

ILMIY AXBOROTNOM A
M EXANIKA
2021-yil, 1-son
Свободные крутильны е колебания круглого упругого конического стержня 
Аннотация. В статье в цилиндрической системее координат рассмотрена задача о 
крутильных колебаниях кругового конического упругого стержня. Считается, что колебания 
стержня возбуждаются под воздействием динамической нагрузки, действую- щей на его 
поверхности. Радиус поперечного сечения стержня считается линейно зависящим от продольной 
координаты. Исходя из уравнений для крутильных колебаний упругого тела и применяя 
итегральные преобразования Фурье и Лапласа выведены уравнения крутильных колебаний 
кругового конического стержня. На основе полученного уравнения решена задача о гармонических 
крутильных колебаниях конического стержня. Приведены частотное уравнение и зависимость 
частоты от волнового числа. На основе полученных числовых резултатов сделаны соответствующие 
выводы.
Клю чевы е слова: конический стержень, приближенное уравнение, крутильные колебания, 
перемещение, напряжение, частота.
1. Introduction. At the present level of development of science and technology, the study of non- 
stationary oscillations of elements of engineering structures is relevant [1-3]. In most cases, such 
fluctuations are based on classical theories [4-6]. Classical theories generally describe low frequency 
vibrations well [7-9]. Therefore, in recent years, great importance has been attached to the study of 
unsteady vibrations of shells, plates and rods on the basis of certain equations [10-13]. In addition to 
unsteady vibrations of structural elements, it is also important to study their free vibrations based on the 
given equations. In this regard [14-16], the articles consider the issues of free vibrations of lamellar and 
conical shells. This article is devoted to the development of equations of torsional vibrations of a conical 
rod [17.18], determined by the research method, and to the study of harmonic vibrations of a conical rod 
based on the results obtained.
2. Form ulation of the problem. Considering the problem according to ( r, 0 , z ) of torsional 
vibrations of circular elastic conical rods in a cylindrical coordinate system. Let us choose the radius of the 
rod as a linear function of the longitudinal coordinate, that is, by the form Г = Г  + QZ (Figure 1). Here
r = const
, 
Q = tgp
Insofar as we are considering torsional 
vibrations that are symmetrical about an axis, 
the problem 0  - is not a change in the angle 
that’s 
why 
only 
U 0{r, z , t ) 
torsional 
displacement nonzero and
8W 1
U 0 = —
dr
(1)
Here W1 - transverse wave potential [3].
Non-zero stress in torsional vibrations are 
represented by the potential W1 -as follows
1
d
d 2
r dr 
d r 2
Wj
&Z0 = - V
d 2 W
drdz
(2)
in this case ц- Lame coefficient.
The torsional vibrations of the rod are in a cylindrical coordinate system described by the following 
equation:
d&„
■
+ d ^0z + 2.-T0- = P
d U a  
d t 2
(3)
d r
d z
v 
/
Here p  - is a shell and barrel material density.
It is believed that the torsional vibrations of the rod are caused by an external force f 0 0(z, t ) acting 
on its surface. In this case, the boundary condition on the surface of the cone looks like as following:
(Tr 0 - Q(Tz 0 = A of ra(Z ,t) > 
A 0 = 1 + Q2- 
(4)
Initial conditions are equal to zero, i.e. t = 0 when u = dU
0 
dt
= 0