Issn 2181-7200 Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта

ЭНЕРГЕТИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА, ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ И 
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ 
122 Scientific-technical journal (STJ FerPI, ФарПИ ИТЖ, НТЖ ФерПИ, 2023, T.27, №1) 
где 




T
T
и
n
T
и
и
T
T
n
T
z
z
z
a
g
a
g
a
g
)
(
.
.
.
)
(
,
)
(
.
.
.
)
(
)
(
1
1


- являются полными векторами фактических 
и расчетных измерений, имеющими размер 
P
nr
;
1

 - является блочно-диагональной весовой 
матрицей, имеющей размер 
nr
nr

, 













1
1
1
0
0
n
D
D
P

. 
Необходимым условием минимума функционала (2) по 
a
является
0
)
)
(
(
2







и
z
a
g
P
a
g
a
Q
, 
(3) 
представляющее собой систему 
q
нелинейных алгебраических уравнений,
которая определяет оптимальную оценку для вектора оцениваемых параметров 
*
a . Здесь 
условие идентифицируемости динамической системы (1) по полной выборке измерений 
равнозначно необходимому условию существования решения уравнений (3) и записывается в 
следующем виде 
.
)
/
(
q
a
g
rank



Рассмотрим некоторую характеристику 
)
( y

, которая является скалярной и задается 
из набора своих значений на сетке 
k
y
, гд е 
,
,
1 к
k

- узловые значения 
,
)
,
( t
x
y
y

– 
векторного аргумента, который имеет размерность 
к
, также как и вектор 


T
k
y
y
)
(
.
.
.
)
(
1




в евклидовом пространстве 
к
R
.
Аппроксимацию для х примем в виде: 







p
i
баз
i
i
b
1
ˆ
, 
(4) 
где 
баз
i

- вектора ортонормированного базиса в 
к
R
, являющегося произвольным; 

i
b
- 
являются коэффициентами разложения; 

p
- размерность пространства аппроксимации. 
Исследуем множество 


N
j
j
,
1


, которое реализует характеристики 

на 
семействе N  динамических систем, описывающие физико-технические явления. Такие 
явления достаточно близки к рассмотренному. В общем случае число N  векторов множества 
 
j

больше или меньше размерности пространства 
к
.
Соответственно [4-6], ортонормированный базис 


к
i
кан
j
,
1


в 
к
R
, который 
образован из собственных векторов матрицы 
T
XX
используя порядок невозрастания 
соответствующих собственных чисел, будет обеспечивать минимум квадратов невязок 
векторов множества 
 
j

аппроксимаций в классе всех ортонормированных базисов в 
к
R
, 
размерностью для пространства аппроксимации 
:
1
к
p



min
)
ˆ
)(
ˆ
(



T
j
j
j
j




, 
где 







p
t
кан
j
i
j
b
1
,
ˆ
является каноническим разложением вектора
j

по 
 
.
,
1
,
N
j
кан
i


- 
векторам канонического базиса. 
Определяя значения параметризованной характеристики 
)
( y

в точках сетки, 
используем канонические разложения: 
),
(
)
(
ˆ
1
k
p
i
кан
i
i
k
y
b
y








---

ЭНЕРГЕТИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА, ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ И 
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ 
Scientific-technical journal (STJ FerPI, ФарПИ ИТЖ, НТЖ ФерПИ, 2023, T.27, №1) 123 
где 
я
i
y
k
кан
i
k
кан
i



)
(
)
(


является базисной функцией для характеристики 
.

Используем интерполяцию нестационарного локального сплайна первой степени 
гладкости [4-6] для нахождения значений характеристик в тех точках, которые не совпали ни 
с каким из узлов сетки. Для определения начальных приближений коэффициентов 
разложений используем априорную информацию о характеристиках системы: 
,
,
1
),
(
)
(
1




p
i
y
y
b
k
кан
i
k
к
k
апр
i




здесь 
)
( y
апр

- априорное приближение для рассматриваемой характеристики. 
Задача определения числовых параметров модели (1) используя материалы 
наблюдений, принадлежит к классу обратных задачи характеризуется некорректной 
постановкой [7, 8]. Нахождение решения такой задачи осуществляется на каждом этапе 
алгоритма идентификации характеристик системы. Рассматриваемая задача имеет 
затрудненное построение регуляризирующего оператора из-за того, заранее неизвестны 
характеристики точности для коэффициентов уравнений (2). Поэтому обратимся к 
итерационной процедуре оценивания параметров, помещая ее в процедуру метода 
аналитического продолжения по параметру [4, 9]. Соответственно дискретному варианту 
метода для отрезка [0, 1] изменения параметра продолжения 

используется разбиение 
точками 
,
,
1
,
L
l
l


на некоторое число неравных отрезков, где 
.
1
,
1



L
l
l



l -й шаг 
метода аналитического продолжения по параметру расширенный функционал качества 
идентификации принимает вид: 
 
,
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
~
2
)
0
(
P
и
l
l
l
l
l
a
g
z
a
g
a
Q
a
Q










здесь 
)
0
(
a
- является начальным значением вектора оцениваемых параметров 
l -го шага. 
При решении задачи параметрической идентификации, каждый шаг процедуры 
метода аналитического продолжения по параметру использует комбинированную 
итерационную вычислительную процедуру. Данная процедура основывается на 
последовательном запуске процедур метода сопряженных градиентов и метода Гаусса-
Ньютона [9]. 
Каждый шаг метода сопряженных градиентов определяет вектор поправок к 
оцениваемым параметрам путем решения нормальной системы линейных алгебраических 
уравнений вида 
,
d
a
C


то есть 
,
d
C
a



(5) 
где 
PH
H
C
T

- является матрицей плана, имеющая размер 
q
q

; 
))
(
(
a
g
z
P
H
d
и
T


- 
является вектором правых частей размера 
.
1

q
Наиболее трудоемкой в рассматриваемом алгоритме является операция обращения 
матрицы С. От качества осуществления этой процедуры существенно зависит точность и 
вычислительная устойчивость алгоритма параметрической идентификации. В (5) матрица C  
является симметрической неотрицательно определенной матрицей порядка 
q
q

, возможно 
неполного ранга 
q
r

. Тогда псевдообратная матрица 

C  может быть определена формулой 
[10-12]: 
T
TT
T
C
T
T
2
)
(



, 
где матрица 
)
(
r
q
T

ранга 
r
определяется из разложения 
.
T
T
C
T

Это разложение, вообще говоря, не единственно [11]. Однако псевдообратная матрица 
T
TT
T
C
T
T
2
)
(



определяется однозначно независимо от способа разложения 
.
T
T
C
T


---