Ix вариационные методы решения задач по теории изгиба пластинок

§ 7. Пример решения задачи методом Бубнова — Галеркина
Для иллюстрации метода Бубнова—Галеркина рассмотрим изгиб защемленной по контуру прямоугольной пластинки, к которой при­ложена равномерно распределенная нагрузка. Направление координатных осей показано на рис.73.

Из характера закрепления пластинки вытекают следующие граничные условия. На гранях пластинки ОБ и АС

На гранях ОА и ВС

Чтобы удовлетворить этим условиям, приближенное выражение функции прогибов можно принять в виде ряда

где функция

каждого его члена удовлетворяет всем граничным условиям. Так, на грани ОВ

и тоже w_n = 0. Точно так же выполняются условия (б) для прогибов на гранях ОА и ВС.
Для проверки граничных условий в отношении углов поворота на контуре пластинки вычисляем производные от функции прогибов

На грани OB

и, следовательно, производная ^ = 0. Точно так же на грани АС

и производная = 0. Аналогично, на гранях ОА и BC обращается
в нуль производная Таким образом, функция прогибов (в) удовлетворяет всем граничным условиям (а) и (б).
Для отыскания неопределенных параметров aki нужно составить систему уравнений Бубнова—Галеркина (9.7). В первом приближении ограничимся одним членом ряда (в):

Тогда функция Фkl, для этого члена ряда будет

Подставляя соотношения (г) и (д) в уравнения (9.7), получаем

После преобразования приходим к сумме произведений интегралов:

Интегрируя, получаем

или после упрощения

Внося полученное значение а₁₁ в формулу (г), находим функцию прогибов в первом приближении:

Максимальный прогиб возникает в центре пластинки (при д* --- а. 2, и у — 6/2). Для квадратной пластинки при и коэффициенте
Пуассона v = 0.3 получаем следующее значение максимального про­гиба:

Точное значение максимального прогиба квадратной пластинки, защемленной по контуру и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки,

Таким образом, максимальный прогиб, полученный в первом приближении, отличается от точного значения менее чем на 1,5%.
При вычислении изгибающих моментов и поперечных сил ряды схо­дятся значительно хуже.