Ix вариационные методы решения задач по теории изгиба пластинок

§ 2. Расчет оболочки произвольной формы по безмоментной теории
Для оболочки произвольной формы применяют криволинейные ортогональные координаты а и р (рис. 77). Бесконечно малые дуги ds_x и ds* на криволинейной поверхности можно рассматривать как прямые. В теории поверхностей их называют линейными элементами. Длины линейных элементов пропорциональны дифференциалам неза­висимых переменных:
Коэффициенты пропорциональности А и В представляют собой коэффициенты искажения, преобразующие приращения криволиней­ных координат в линейные от-



Квадрат линейного элемента в ортогональных координатах состав­ляет

или с учетом зависимостей (а)

(б)

Выражение (б) называется первой квадратичной формой поверх­ности, а величины А и В — коэффициентами первой квадратичной формы.
Для исследования внутренних усилий выделим из срединной по­верхности оболочки линиями а = const, а + da = const, р = const и р + dp = const бесконечно малый элемент CDFE (рис. 78). В ко­ординатах а и р он имеет форму ортогонального криволинейного че­тырехугольника со сторонами

Углы (1фх и d(p₂ соответствуют криволинейным сторонам четырех­угольника Л da и В dp и расположены в двух взаимно перпендикуляр­ных главных нормальных плоскостях, проходящих через точку С, Согласно рисунку, эти углы подчиняются формулам

Углы d^x и di|)₂ лежат в касательной плоскости и образованы направ­лениями смежных касательных к линиям кривизн, проходящих че­рез точки С, D и Е. Для этих углов получаем

В случае безмоментного напряженного состояния на гранях рассматриваемого элемента действуют отнесенные к единице длины сечения оболочки нормальные JV_lf N₂ и сдвигающие 5ь S₂ усилия, являющиеся функциями координат a и р. Эти усилия изображены на рис. 79. Поверхностная нагрузка показана в виде составляющих интенсивности нагрузки Х_>(, У%, Z_v по осям подвижной ортогональной системы координат хуг с началом в
точке С.
Рассмотрим условия равновесия элемента CDFE. Сумма проекций всех сил на ось Сх

Приведем подобные члены и отбросим стоящие в квадратных скоб­ках величины высшего порядка малости:


Аналогично получаем еще два уравнения равновесия, проецируя все силы на оси Су и Сz:
Из уравнения моментов относительно оси Cz получаем соотношение
S₁ = S₂ = S,
называемое законом парности сдвигающих усилий. С его учетом диф­ференциальные уравнения равновесия безмоментной теории оболочек можно представить в таком виде:



Уравнения (10.1) представляют собой полную систему основных уравнений безмоментной теории оболочек, выведенную в линиях глав­ных кривизн срединной поверхности оболочки. Число неизвестных функций N₁, N₂ и S соответствует числу уравнений, т. е. при расчете по безмоментной теории оболочка в бесконечно малом представляет собой статически определимую систему.
Решение системы уравнений (10.1) относится к статической зада­че безмоментной теории оболочек. Чтобы найти деформации и переме­щения в оболочке, к этим уравнениям следует добавить геометриче­ские и физические уравнения. Здесь ограничиваемся исследованием только статической стороны задачи и рассмотрим основные уравнения для двух частных случаев.
Сферическая оболочка. В этом случае главные ра­диусы кривизны одинаковы:

Заменяя координату а на <р, а р на 0, согласно рис. 80 получаем
следующие значения длин линейных элементов:

Сравнивая соотношения (з) и (а), заключаем, что коэффициенты
первой квадратичной формы принимают вид