Изолированные особые точки и их классификация

Найти самостоятельнолинии уровня следующих плоских полей:

4. 
   ;
   
5. 
   ;
   
6. 
   
   

Производная по направлению

Пусть в некоторой области  трёхмерного пространства задано скалярное поле, определяемое функцией
.
Фиксируем точку  и выберем направление, определяемое вектором , орт которого
.
Обозначим  . Точку выберем так, чтобы вектор совпадал с .

откуда следует :
,
или
(1.1)
Пусть  , приращение вектора
Определение.Предел отношения  , если он существует при называется производной функции в точке по направлению  и обозначается символом , т.е.

Согласно правилу дифференцирования сложной функции

Из соотношений (1.1) следует, что

Подставив последние соотношения в предыдущее выражение, получим:
. (1.2)
Здесь символ  и аналогичные означают, что производные вычисляются в точке .
Пример 1.4.Найти производную скалярного поля в точке
по направлению к точке  .
Решение.
Вектор  модуль вектора
орт вектора

следовательно,
,  .
Значения частных производных функции  в точке равны:

Подставив всё в формулу (1.2), получим:

Решить самостоятельно
В следующих задачах найти производные функции  по направлению от точки к точке :

7. 
   ,  ;
   
8. 
   ;
   
9. 
   в точке  по направлению параболы ;
   
10. 
    в точке  по направлению окруж-ности