Изолированные особые точки и их классификация


Download 0.6 Mb.
bet4/4
Sana18.12.2022
Hajmi0.6 Mb.
#1027196
1   2   3   4
Bog'liq
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Градиент скалярного поля


Пусть в области  пространства функция задаёт скалярное поле. Функция непрерывна и дифференцируема.Определение.Градиентом скалярного поля  в точке называется вектор, обозначаемый символом и определяемый равенством
(1.3)
Сопоставив последнее выражение с формулой (1.2), получим

где
орт направления 
Очевидно, что производная функции  по направлению вектора есть проекция вектора на ось, направленную по
Градиент обладает следующими свойствами:
 градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или к линии уровня);
 градиент направлен в сторону возрастания функции U;
 модуль градиента равен наибольшему значению производной по направлению в данной точке поля;

Эти свойства позволяют сделать вывод, что  есть вектор, по величине и направлению характеризующий наибольшую крутизну изменения функции .
Пример 1.5.Найти градиент скалярного поля .
Решение.

нормальный вектор для семейства параллельных плоскостей
,
которые являются поверхностями уровня данного скалярного поля.
Пример 1.6
Найти наибольшую крутизну подъёма поверхности  в точке .
Решение.


Пример 1.7.
Найти направление наибольшего изменения скалярного поля

и величину этого изменения в точке 
Решение.
Направление наибольшей крутизны изменения поля задаёт вектор  .
.

Решить самостоятельно:

  1. найти градиент скалярного поля

в точке  ;

  1. найти угол  между градиентами функции

в точках  и ;

  1. найти угол  между градиентами функций

и  в точке ;
14) найти градиент  , если
постоянный вектор.
Ответы.

  1. семейство сферических поверхностей;

  2. семейство параболоидов;

  3. пучок плоскостей;

  4. семейство параллельных прямых;

  5. пучок прямых;

  6. семейство парабол;

  7. 8)  9) 10) -2 ; 11) ;

12)  13) 14)
Download 0.6 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling