Пусть в области пространства функция задаёт скалярное поле. Функция непрерывна и дифференцируема.Определение.Градиентом скалярного поля в точке называется вектор, обозначаемый символом и определяемый равенством
, (1.3)
Сопоставив последнее выражение с формулой (1.2), получим
где
орт направления
Очевидно, что производная функции по направлению вектора есть проекция вектора на ось, направленную по
Градиент обладает следующими свойствами:
градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или к линии уровня);
градиент направлен в сторону возрастания функции U;
модуль градиента равен наибольшему значению производной по направлению в данной точке поля;
Эти свойства позволяют сделать вывод, что есть вектор, по величине и направлению характеризующий наибольшую крутизну изменения функции .
Пример 1.5.Найти градиент скалярного поля .
Решение.
нормальный вектор для семейства параллельных плоскостей
,
которые являются поверхностями уровня данного скалярного поля.
Пример 1.6
Найти наибольшую крутизну подъёма поверхности в точке .
Решение.
Пример 1.7.
Найти направление наибольшего изменения скалярного поля
и величину этого изменения в точке
Решение.
Направление наибольшей крутизны изменения поля задаёт вектор .
.
Решить самостоятельно:
найти градиент скалярного поля
в точке ;
найти угол между градиентами функции
в точках и ;
найти угол между градиентами функций
и в точке ;
14) найти градиент , если
постоянный вектор.
Ответы.
семейство сферических поверхностей;
семейство параболоидов;
пучок плоскостей;
семейство параллельных прямых;
пучок прямых;
семейство парабол;
8) 9) 10) -2 ; 11) ;
12) 13) 14)
Do'stlaringiz bilan baham: |