Jizzax filiali

 

 

 

 

 

 

 

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA  

MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI 

 

O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI 

JIZZAX FILIALI 

 

Amaliy matematika fakulteti Informatika  

va AT yo’nalishi 103_19 guruh  

talabasining

 

 

Matritsalar algebrasi  

mavzusida bajargan 

Mustaqil ishi

 

                 

                             

Bajardi:                     Ubaydullayev Temurbek

 

                       Baholadi:                  Sadoqat Sharipova 

 

 

Jizzax_2020 

 

 

 

         

Reja: 

                             1.Matritsa. 

                             2.Matritsa va ular ustida amallar. 

                              

                              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                            

 

 

 

                     1.

  Matritsa  tushunchasi  chiziqli  algebraning  asosiy  tushuncha-laridan  biri 

bo‘lib,  uning  talaba  tomonidan  chuqur  o‘zlashtirilishi  muhim  ahamiyatga  ega.  Chunki  bu 

tushunchaning  tatbiqlari  zamo-naviy  ishlab  chiqarishdagi  muhim  iqtisodiy,  texnikaviy 

masalalarni yechishda keng qo‘llaniladi. 

Nxn ko’rinishdagi matritsa deb sonlarni tugun burchakli tablitsa ko’rinishiga aytladiki, 

bunda sonlar m qator 

va n usunlar shaklida yoziladi

, aij -A matritsaning elementlari, aij-i-

qatorning va j-ustunning kesishgan joyiga aytiladi. 

  Misol: А=

 

Matritsani yozish uchun quyidagi belgilardan foydalanish mumkin: A, [a

ij

] 

Matritsa mxn agar m=n bo’lsa 

kvadrat matritsa deyiladi

, m=n bo’lmasa to’g’ri burchakli 

matritsa deyiladi. 

Matritsa A

T

 berilgan A matritsaga nisbatan transponirlangan deyiladi, 

agar matritsa A 

elementlari a

ij

 matritsa AT elementlariga a

ij

 barcha i va j larda teng bo’lsa: 

Agar А=

, А

Т

=

. 

Ikki bir xil razmerdagi A va 

V matritsalar teng hisoblanadi

, ya'ni A=V agar ular elementlari 

teng bo’lsa ya'ni a

ij

=b

ij

 

 

 

Matritsaning maxsus turlari. Barcha elementlari nolga teng matritsa nul matritsa deyiladi va 

O simvoli yoki (0) ko’rinishda belgilanadi. 

Bosh diagnol elementlarigina nuldan 

farqli kvadrat matritsalar 

diagonal matritsalar deyiladi 

va quyidagicha tasvirlanadi. 

С=

 

Ya'ni S=diag C=[b

ij

 c

1

] . Bu yerda bij Kronekker belgisi. 

Agar diagnol matritsaning barcha elementlari birga teng bo’lsa ya'ni c

1

=1 unday matritsa 

birlik matritsa deyiladi va quyidagicha belgilanadi: 

 

 

 

 

Matritsa- qator yoki vektor -qator-bu razmeri 1 x m bo’lgan matritsa bo’lib bir qator va m 

ustundan iborat bo’ladi. qator 

 

Matritsa-ustun yoki vektor-ustun -bu razmeri n x 1 bo’lgan matritsa bo’lib n qator va bir 

ustundan iborat bo’ladi. 

a

ij

=a

ji

 shart bajarilgan matritsalar simmetrik matritsalar deyiladi. 

 

 

2.

  Ta’rif  1.1:  n  ta  satr  va  m  ta  ustundan  iborat  bo‘lib,  to‘g‘ri  to‘rt-burchak  shaklida 

joylashgan,  n·m  ta  elementdan  tuzilgan  ixtiyoriy  jadval  nxm  tipdagi  matritsa  deyiladi. 

Matritsani  tashkil  qiluvchi  narsalar  uning  elementlari  deyiladi.  nxm  tipdagi  A  matritsa  qu-

yidagicha yoziladi: 

 

 

 

 

yoki qisqacha ko‘rinishda 

     

A=[a

ki

], k=1,2,...,n, i=1,2,...,m     agar matritsaning ustunlar soni bitta (m=1) bo‘lsa, u 

holda ustun matritsani hosil qilamiz. 

 

 

 

 

Shuningdek, satrlari soni bitta (n=1) bo‘lsa, y=[y

1

,y

2

,...,y

m

] 

 

satr matritsani hosil qilamiz. 

 

Agar  matritsaning  satrlari  soni  bilan  ustunlar  soni  o‘zaro  teng  bo‘lsa,  u  holda  matritsa 

kvadrat matritsa deyilib, uning satrlar (yoki ustunlar) soni matritsaning tartibi deyiladi. 

 

Ta’rif 1.2. Matritsaning k ta satri va k ta ustunidan tuzilgan diterminant bu matritsaning k-

tartibli minori deyiladi. 

 

 

 

Masalan, birinchi tartibli minorlar shu matritsa elementlarin-ing o‘z bo‘lib, ularning soni 

n·m ta bo‘ladi, quyidagi 2x3 tipdagi matritsa uchun uchta har xil ikkinchi tartibli 

 

 

 

minorlarni  tuzish  mumkin.  n-tartibli  A  kvadratik  matritsaning  n-tartibli  minori  shu 

matritsaning determinantiga teng bo‘lib, detA yoki ¦A¦ ko‘rinishda belgilanadi. 

Ta’rif 1.3. Satrlar soni va ustunlar soni o‘zaro teng bo‘lib, mos ele-mentlari ham o‘zaro 

teng  bo‘lgan  matritsalar  o‘zaro  teng  deyiladi.  Shun-ing  uchun  ikkita  matritsaning  o‘zaro 

tengligi A=B, n·m ta skalyarlarning o‘zaro tengligi a

ki

=b

ki

, k=1,2,...,n, i=1,2,...,m bilan teng 

kuchlidir. 

 

Ta’rif 1.4. Matritsani songa ko‘paytirish deb, shu matritsaning hamma elementlarini shu 

songa ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan mat-ritsaga aytiladi, ya’ni: 

λ A = λ [ a

ki

 ] = [ λa

ki

 ]    

k=1,2,...,n, i=1,2,...,m. 

Hamma elementlari nolga teng bo‘lgan matritsa nol matritsa deyiladi. 

Ta’rif 1.5. Bir xil tipdagi ikkita matritsaning yig‘indisi deb shunday matritsaga aytiladiki, bu 

matritsaning  elementlari,  qo‘shiluvchi  matritsalar  mos  elementlarining  yig‘indisidan  iborat 

bo‘lib, yig‘indi matritsaning tipi qo‘shiluvchi matritsalar tipi bilan bir xil bo‘ladi. 

Bu aytilganlardan quyidagilar kelib chiqadi: 

A+(B+C)=(A+B)+C, 

 

A+B=B+A, 

 

A+0=A, 

 

(α+β)A=αA+βA, 

 

α(A+B)=αA+αB, 

 

Bu yerda A, B, C — matritsalar,

 

α,β — skalyar. 

Ta’rif 1. 6. A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng bo‘lgan shartda 

A va B matritsalarning ko‘paytmasi deb shunday C matritsaga aytiladiki, uning elementlari. 

 

 

 

qoida bo‘yicha aniqlangan bo‘ladi. Agar A matritsa nxm tipda B matritsa mxs tipda bo‘lsa, 

C=AB matritsa nxs tipdagi matritsa bo‘ladi. 

Bu ta’rifdan quyidagilar kelib chiqadi: 

 

AB≠BA 

(A+B)C = AC+ BC. 

 

Ikkita  kvadratik  matritsa  ko‘paytmasining  determinanti  shu  matritsalar  determinantlari 

ko‘paytmasiga teng, ya’ni: 

 

det(AB) = detAdetB. 

Ta’rif  1.7.  Kvadratik  matritsa  bosh  diagonalida  turgan  ele-mentlari  yig‘indisi  shu 

matritsaning izi deyiladi va Sp belgi bilan belgilanadi. Demak, 

SpA = a

11

+a

22

 +...+ a

nn 

Diagonalidagi barcha elementlari birga teng bo‘lib, qolgan barcha elementlari nollardan  iborat  

bo‘lgan matritsa birlik  matritsa 

 

deyiladi va E bilan belgilanadi.Bevosita hisoblash bilan 

AE = EA=A 

ekanligini ko‘rsatish mumkin. 

 

 

 

 

 

Quyidagi ko’rinishdagi kvadrat matritsa 

 

diagonal matritsa deyilib, diagA=(a

11

,a

22

,...,a

nn

) ko‘rinishida yoziladi. 

Ta’rif  1.8.  Agar  kvadratik  matritsaning  determinanti  noldan  farqli  bo‘lsa,  u  holda  bu 

matritsa maxsusmas, aks holda maxsus deyiladi. 

 

 

 

Agar A×A'=E tenglik bajarilsa, A' matritsa A matritsaga teskari matritsa deyilib, A'= A-1 

bo‘ladi. Ixtiyoriy maxsusmas matritsa tes-kari matritsaga ega ekanligini isbotlash mumkin. 

Ta’rif 1.9. Agar A matritsaning satrlarini ustun, ustunlarini satr qilib yozsak, hosil bo‘lgan 

matritsa  A  matritsaning  transponirlan-gan  matritsasi  deyilib,  AT  ko‘rinishda  belgilanadi. 

Demak, 

 

A=[a

ki

] bo‘lsa, A

T

 = [a

ik

], i=1,2,...,m, k=1,2,...,n. Transponirlangan va teskari 

matritsalarning ta’riflaridan bevosi- 

 

ta quyidagi tengliklar kelib chiqadi. 

(AB)T = BT AT 

 

(AB)-1 = B-1 A-1 

 

detAT = detA. 

Ta’rif  1.10.  A=[a

ki

],  i,k=1,2,...,n  kvadratik  matritsaning  ele-mentlari  bosh  diagonalga 

nisbatan  simmetrik  joylashgan  bo‘lsa,  ya’ni,  a

ki

  =  a

ik

  bo‘lsa,  u  simmetrik  matritsa  deyiladi. 

Simmetrik mat-ritsa uchun AT =A tenglik o‘rinli. 

Ta’rif 1.11. A kvadratik matritsaning elementlari 

 a

ki

=-a

ik

, i,k=1,2,...,n, 

tenglikni qanoatlantirib, bosh diagonaldagi elementlari nolga teng, ya’ni, a

ii

=0, i=1,2,...,n 

bo‘lsa, u kososimmetrik matritsa deyi-ladi. Kososimmetrik matritsalar uchun 

 

AT=-A 

 

tenglik o‘rinli. 

Oliy algebradan ma’lumki, toq tartibli kososimmetrik matrit-salarning 

determinantlari aynan nolga teng, juft tartibli kososim-metrik 

matritsalarning determinantlari esa uning elementlari butun 

ratsional funksiyasi kvadratini ifodalaydi. Demak, haqiqiy 

elementli kososimmetrik matritsalarning determinantlari 

manfiymas bo’ladi. 

Ixtiyoriy kvadratik matritsani simmetrik va kososimmetrik mat-ritsalar yig‘indisi 

ko‘rinishida tasvirlash mumkin. Haqiqatan, 

Λ=[a

ki

] 

 

Ixtiyoriy  kvadratik matritsa bo‘lsin. Undan 

 

 

 

matritsalarni tuzamiz. Aniqki, A matritsa simmetrik, B matritsa ko-sosimmetrik bo‘lib, 

 

bo‘ladi.