Journal of marketing, business and management

максималлаштириш масаласини қарайлик. 
Даромад ва харажат функциялари қуйидаги кўринишда берилган бўлсин: 

---

JOURNAL OF MARKETING, BUSINESS AND MANAGEMENT(JMBM)/SJIF FACTOR: 4.28
www.jmbm.uz VOLUME 1, ISSUE 7 (October) ISSN: 2181-3000 
Page 57 
 
x
x
x
R
200000
3
3


,
 
2
1200 x
x
C

. 
Ишлаб чиқаришнинг максимал фойда берувчи ҳажмини ва унда 
олинадиган фойдани топиш керак бўлсин. 
Фойда функциясининг (4) ифодасидан берилган 
 
x
R
ва 
 
x
C
ларда
 
2
3
1200
200000
3
x
x
x
x




ни топамиз. 
Бу функция ҳосиласини нолга тенглаймиз 
 
0
2400
200000
2





x
x
x
ва
0
200000
2400
2



x
x
тенгламани ҳосил қиламиз. 
Бу тенгламанинг ечимлари 
31
200
1200
2
20
4
24
10
2400
2
2
2
,
1







x
, 
яъни 


31
6
200
1


x
,


31
6
200
2


x
бўлади. 
Экстремумнинг етарлилик шартларига кўра 
1
x
ёки 
2
x
нуқтада 
 
x

функция максимал қийматга эга бўлиши учун 
 
0

 
x
бўлиши керак. 
Иккинчи тартибли ҳосила
 


1200
2
2400
2




 
x
x
x
бўлади. 
Бевосита текшириш шуни кўрсатадики: 
 
0
1

 
x
, 
 
0
2

 
x
. Демак 
 
x

га максимал қиймат берувчи ишлаб чиқариш ҳажми 


31
6
200
2


x
бўлади. 
Бу қийматда фойда функциясининг қийматини топиш учун дастлаб 
2
x
нинг тақрибий қийматини топамиз 




44
,
86
4322
,
0
200
5678
,
5
6
200
31
6
200
2







x
. 
Демак фойданинг максимал қиймати
 


8537041
44
,
86
1200
44
,
86
200000
3
44
,
86
44
,
86
2
3
2









x
пул бирлигига тенг эканлиги келиб чиқади. 
Энди фойдани оптималлаштириш масаласини қарайлик. 
Даромад ва харажат функциялари қуйидаги кўринишда берилган бўлсин 
 
2
5
,
0
15
x
x
x
R


,
 
5
,
0
2


x
x
C
. 
Ишлаб чиқаришнинг оптимал даражасини ва унда эришиладиган фойда 
миқдорини топишда фойда функцияси (4) ифода билан аниқланади 
 
   
x
C
x
R
x



,
яъни 

---

JOURNAL OF MARKETING, BUSINESS AND MANAGEMENT(JMBM)/SJIF FACTOR: 4.28
www.jmbm.uz VOLUME 1, ISSUE 7 (October) ISSN: 2181-3000 
Page 58 
 


5
,
0
5
,
1
15
5
,
0
5
,
0
15
2
2
2








x
x
x
x
x
x
. 
Бу функциядан ҳосила олиб, нолга тенглаб 
 
0
3
15




x
x
,
5

x
ни топамиз. Бу оптимал ишлаб чиқариш ҳажмидир. Бу қийматда 
38
5
,
0
5
,
37
75
5
,
0
5
5
,
1
5
15
2
max










пул бирлиги бўлади. 
Корхоналарни солиққа тортишни оптималлаштириш масаласини 
қараб чиқайлик. Даромад ва харажат функцияларининг реализация қилинган 
махсулот миқдори 
x
орқали қуйидаги кўринишда берилган 
 
2
20
x
x
x
R


,
 
1
2


x
x
C
. 
Бир бирлик реализация қилинадиган махсулотга қўйиладиган солиқнинг 
оптимал даражаси ва бунда эришиладиган корхона фойдасини топиш керак 
бўлсин. 
Бир бирлик ишлаб чиқариладиган махсулотга солинадиган солиқ 
миқдорини 
 
tax
t
деб белгилайлик. Бунда 
x
миқдорда махсулот ишлаб 
чиқилганда умумий солиқ 
tx
T

бўлади. Фойда функциясини қуйидаги 
кўринишда ёзамиз 
   
 
tx
x
C
x
R
x




. 
Солиққа тортувчи идоралар бир бирлик махсулотга солинадиган солиқ t  
нинг миқдорини шундай белгилашга ҳаракат қиладики, 
x
миқдордаги 
махсулотдан олинадиган умумий солиқ T  энг катта бўлсин. 
Берилган 
 
x
R
ва
 
x
C
ларни ҳисобга олиб
 
1
2
20
1
20
2
2
2










tx
x
x
tx
x
x
x
x
деб ёзамиз. 
Олдинги масалалардаги каби фойда функциясининг максимумга эришиш 
шарти 
 
0


x
бўлади. Бундан
 
0
4
20





t
x
x
тенгламани ва ундан 
4
5
t
x


ечимни топамиз. 
Умумий солиқ миқдори 





 


4
5
t
t
tx
T
бўлади. 
Энди бу миқдорнинг энг катта қийматга эришиш шартини топамиз 
 
0
2
5
4
4
5
4
5


















 


t
t
t
t
t
t
T
. 
Бундан 
10

t
келиб чиқади. 
Оптимал фойда берувчи ишлаб чиқариш ҳажми 
5
,
2
4
10
5
4
5





t
x
бирлик бўлади. 
Максимал фойда эса
 
5
,
11
1
25
5
,
12
50
1
5
,
2
10
5
,
2
2
5
,
2
20
2













x
пул бирлиги бўлади. 

---

JOURNAL OF MARKETING, BUSINESS AND MANAGEMENT(JMBM)/SJIF FACTOR: 4.28
www.jmbm.uz VOLUME 1, ISSUE 7 (October) ISSN: 2181-3000 
Page 59 
Солиқ 
хизмати 
нуқтаи 
назаридан 
оптимал 
солиқ 
йиғими 
25
4
10
5
10
4
5
10






 






 


t
t
t
T
пул бирлиги бўлади. 
Энди махсулотдан солиқ олинмайдиган ҳолни қараймиз. Бунда 
0

t
бўлиб, 
5
4
0
5



x
бўлади. 
Максимал фойда эса 
 
49
1
50
100
1
5
2
5
20
5
2










пул бирлиги 
бўлар экан. 
Олинган натижадан кўриниб турибдики, солиқ юки олиб ташланганда 
оптимал ишлаб чиқариш ҳажми ортади ва корхонанинг махсулот сотишдан 
оладиган максимал фойдаси юқори бўлади. Ҳақиқатдан ҳам солиқ ставкаси бир 
бирлик махсулотга 
10

t
(пул бирлиги)/(махсулот бирлиги) бўлганда оптимал 
ишлаб чиқиш ҳажми 
5
,
2

x
бирлик бўлиб, корхонанинг максимал фойдаси
5
,
11
max


пул бирлиги бўлган эди. Солиқ ставкаси 
0

t
бўлганда оптимал 
ишлаб чиқиш ҳажми 
5

x
бирлик бўлиб, корхонанинг максимал фойдаси 
49
max


пул бирлигига тенг бўлди. Шунинг учун ишлаб чиқарувчилар доимо 
солиқ ставкаларини камайтириш тарафдори бўлишади. 
Логарифмик ҳосиланинг иқтисодиётда қўлланилишига доир масалани 
қарайлик. Банкдаги омонатнинг t  вақтдаги (йил) қиймати 
 
t
y
бўлсин. Бу 
функция орқали банкнинг йиллик фоиз ставкасини топиш мумкинми, деган 
савол туғилади. 
Агар тўлов фоизлари узлуксиз ҳисобланса, ушбу муносабат ўринли 
бўлади 
 
100
0
pt
e
y
t
y

, 
(5) 
бунда p - омонатнинг йиллик ўсиш фоизи, 
100
p
r

– йиллик номинал ставка. 
Берилган (5) муносабатни логарифмлаймиз 
 
100
ln
0
pt
y
t
y


ва тенгликнинг иккала таърифидан ҳосила оламиз 
 


r
t
y


ln
. 
(6) 
Демак, банк номинал ставкаси омонатнинг логарифмик ҳосиласига 
тенгдир. Бошқача айтганда, логарифмик ҳосила омонатнинг даромадлилигини 
аниқлайди. 
Биз кўрган ҳолда йиллик номинал ставка 
r
ўзгармас сон эди. Лекин у 
ўзгарувчи сон бўлганда ҳам (5) муносабат ўринли бўлади. Бу ҳолда 
r
омонатнинг оний даромадлилигини белгилайди. Масалан, бирор бир 
A
активнинг 
t
вақтдаги қиймати 
 
t
A
бўлсин, 
r
эса бошқа бирор активга пул 
қўйиш даромадлилиги бўлсин. Уни қаралаётган вақт давомида ўзгармас деб 

---

JOURNAL OF MARKETING, BUSINESS AND MANAGEMENT(JMBM)/SJIF FACTOR: 4.28
www.jmbm.uz VOLUME 1, ISSUE 7 (October) ISSN: 2181-3000 
Page 60 
қараймиз. Шундай савол туғилади: A активни қачон сотиб олиш ёки сотиш 
фойдали? Бу саволга жавоб бериш учун A нинг оний даромадлилиги 
r
дан 
катта бўлган вақт интервалини топамиз. 
 
t
A
активнинг оний даромадлилиги 
унинг логарифмик ҳосиласи билан топилади. Шунинг учун изланаётган вақт 
интервали
 


r
t
A


ln
тенгсизликдан топилади. Бу интервал 


2
1
,t
t
бўлсин. 
Демак 
 
t
A
активни 
1
t
вақтда сотиб олиб, 
2
t
вақтда сотиш керак. Айнан шу вақт 
давомида 
 
t
A
актив бошқа активларга нисбатан кўпроқ ошади. 
Умуман логарифмик ҳосила 
 
t
y
функциянинг нисбий ўзгариш тезлигини 
ифодалайди 
 
y
y
y
T
y




ln
. 
Масалан, ишчилар бригадасининг меҳнат унумдорлиги
8
0
,
20
8
2






t
t
t
y
, 
функция ёрдамида ифодаланган, бунда 
t
– сменадаги иш соати. Меҳнат 
унумдорлигининг ўзгариш тезлигини ва нисбий ўзгариш тезлигини 
2

t
ва 
5

t
вақтларда топиш керак бўлсин. 
Меҳнат унумдорлигининг ўзгариши тезлиги 
8
2




t
y
, 
(7) 
нисбий ўзгариш тезлиги эса 
 
20
8
8
2
ln
2










t
t
t
y
y
y
T
y
(8) 
бўлади. 
Топилган (7), (8) ифодалардан
2

t
ва 
5

t
соатларда
 
4
8
2
2
2






y
;
 
8
1
20
16
4
4
20
2
8
2
8
2
2
2
2













y
T
; 
 
2
8
5
2
5







y
;
 
35
2
20
40
25
2
20
5
8
5
8
5
2
5
2















y
T
қийматларни топамиз. 
Топилган қийматлардаги мусбат ишора меҳнат унумдорлиги ва унинг 
нисбий ўзгариши 
2

t
соатда ўсаётганлигини, манфий ишоралар эса 
5

t
да 
камаяётганлигини кўрсатади. 
Олий таълим муассасаларида математика фанларининг ўтилишида 
таълим йўналиши хусусиятларини эътиборга олиш катта аҳамиятга эга. 
Бошқача айтганда, математика фанларини мутахассислик фанлари элементлари 
билан боғлаш фанни ўзлаштириш самарадорлигини оширади. Биринчидан, 
талабалар у ёки бу математик тушунчаларнинг амалий кўрсаткичлар билан 
боғлиқлигини англаб етадилар. Хусусан, иқтисодий кўрсаткичларнинг 
ўзгариши қонуниятларини қай тарзда функциялар, тенгламалар ёрдамида 
ифодаланишини тушуниб оладилар. Иккинчидан, амалий масалалар билан 
боғлиқ тарзда математик тушунчалар берилганда талабалар томонидан уларни 

---

JOURNAL OF MARKETING, BUSINESS AND MANAGEMENT(JMBM)/SJIF FACTOR: 4.28
www.jmbm.uz VOLUME 1, ISSUE 7 (October) ISSN: 2181-3000 
Page 61 
ўзлаштириш анча енгиллашади. Математик қоидалар, тушунчалар маълум вақт 
давомида талабалар ёдидан чиқиши мумкин, лекин амалий масалаларнинг 
математик усуллар ёрдамида ечилиши узоқ вақт уларнинг эсидан чиқмайди.