Katta sonlar qonuni

Isboti:

va

o’zaro qarama-qarshi hodisalar bo’lganliklari uchun

va (2) ga asosan

Bizga tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin, ketma-ketlikni tuzib olamiz.

Tafsif: sonlar ketma-ketligi mavjud bo’lib,

o’rinli bo’lsa, tasodifiy miqdorlari ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysunadi deyiladi.

Amaliyotda ko’p hollarda

deb olinadi.

Teorema (Katta sonlar qonuni haqidagi Chebishev teoremasi). Faraz qilaylik juft-jufti bilan bog’lanmagan tasodifiy miqdorlar bo’lib, ularning dispyerstiyalari tekis chegaralangan bo’lsin, ya’ni , ,

U holda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysunadi, ya’ni ixtiyoriy uchun

bo’ladi.

Isboti: Isbotlashda Chebishev tengsizligi (3) dan foydalanamiz.

Unga asosan

(5)

tasodifiy miqdorlar bog’lanmagan bo’lganliklarini inobatga olsak,

(6)

(6)ni inobatga olsak, (5) quyidagi ko’rinishni oladi.

va

ehtimollik birdan katta bo’lishi mumkin bo’lmaganligi uchun

bo’ladi

Demak, katta sonlar qonuni haqidagi Chebishev teoremasiga asosan katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi tasodifiylik xaraktyerini yo’qotishi uchun ular o’zaro bog’liqmasl va dispyersiyalar tekis chegaralan bo’lishi kyerak ekan.

Endi bir xil taqsimlangan bog’liqmas tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta son qonunini ifodalovchi Xinchin teoremasini ko’rib chiqamiz.

Teorema: Agar tasodifiyi miqdorlar ketma-ketligi o’zaro bog’lanmagan, bir xil taqsimlangan va () bo’lsa, u holda son uchun

(7)

o’rinli bo’ladi, ya’ni tasodifiyi miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysinadi.

Isboti. Teoremani isbotlash uchun «qirqib olish» usulidan foydalanamiz.

Tayinlangan va lar uchun quyidagi yangi tasodifiy miqdorlarni aniqlaymiz.

Agar bo’lsa va ,

bo’lsa, ,

deb olaymiz.

U holda va uchun matematik kutilma va dispyersiya mavjud

,

deb olsak

da uchun, qanday bo’lmasin, yetarlicha katta lar uchun

(8)

bo’ladi.

Chebishev tengsizligiga asosan

.

(8) ga asosan,

bo’lganligi va matematik kutilma mavjud bo’lganligi uchun yetarlicha katta lar uchun

bo’ladi.

Bundan,

kelib chiqadi.

Shuning uchun ham,

va lar ixtiyoriy bo’lganligi sababli oxirgi tengsizlikdan teorema isboti kelib chiqadi.

Chebishev teoremasi shartlarini tekshirish orqali quyidagi Bernulli teoremasini isbotlash mumkin.