Katta sonlar qonuniga oid Chebishev teoremasi va uning tadbiqlari

61. 
    Katta sonlar qonuniga oid Chebishev teoremasi va uning tadbiqlari.
    

61. 
    Katta sonlar qonuniga oid Markov teoremasi.
    

61. 
    Matematik kutilmasi va dispersiyasi bo‘lgan tasodifiy miqdor berilgan bo‘lsin. tasodifiy miqdor o‘zining matematik kutilmasidan ga chetlanish ehtimolligini yuqoridan baholang
    

topilmadi

61. 
    Chebishev tengsizligidan foydalanib, tasodifiy miqdor o‘zining matematik kutilmasidan chetlanishi, ikkilangan o‘rtacha kvadratik chetlanishdan kichik bo‘lmasligi ehtimolligini baholang
    

Chebishev tengsizligi tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatidan ma'lum miqdorda chetga chiqish ehtimolining yuqori chegarasini beradi. Biroq, u to'g'ridan-to'g'ri o'rtacha kvadrat og'ishning kvadrati bo'yicha og'ish ehtimolini taxmin qilmaydi.
Chebishev tengsizligi shuni ko'rsatadiki, o'rtacha m va dispersiyasi s^2 bo'lgan har qanday X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun X ning o'rtachadan k dan ortiq standart og'ishlarga og'ish ehtimoli quyidagicha ifodalanadi:
P(|X - m| ≥ ks) ≤ 1/k^2
Bu holda, o'rtacha kvadratik og'ish (s^2)^2 sifatida belgilanadi, deb faraz qilaylik. Agar o'rtacha qiymatdan chetlanishni (s^2)^2 dan kam emas deb hisoblasak, tengsizlikni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:
P(|X - m| ≥ (s^2)^2) ≤ 1/[(s^2)^2]
Biroq, biz o'rtacha, dispersiya va kvadrat o'rtacha kvadrat og'ishning o'ziga xos qiymatlarini bilmasdan turib, to'g'ridan-to'g'ri hisob-kitoblarni yoki hisob-kitoblarni amalga oshira olmaymiz. Bu qiymatlarsiz biz Chebishev tengsizligidan foydalangan holda sonli baho bera olmaymiz.

61. 
    Markaziy limit teorema. Lyapunov teoremasi.
    

61. 
    tasodifiymiqdor parametrli Koshi taqsimotiga ega. Uning xarakteristik funksiyasini toping.
    

asodifiy miqdorning xarakteristik funktsiyasi tasodifiy miqdorning kompleks eksponensial funktsiyasining kutilayotgan qiymati sifatida aniqlanadi.
A parametrli Koshi taqsimotiga ega s tasodifiy o‘zgaruvchisi uchun s ning ehtimollik zichligi funksiyasi (pdf) quyidagicha ifodalanadi:
f(s) = (1/pA) * (A^2 / (s^2 + A^2))
Xarakteristik funktsiyani topish uchun kompleks eksponensial funktsiyaning kutilayotgan qiymatini hisoblashimiz kerak, u quyidagicha aniqlanadi:
ph(t) = E[e^(it*s)]
s pdf faylidan foydalanib, xarakteristik funktsiyani quyidagicha hisoblashimiz mumkin:
ph(t) = ∫[-∞ dan +∞ gacha] e^(it s) * f(s) ds = ∫[-∞ dan +∞ gacha] e^(it s) * (1/pA) * ( A^2 / (s^2 + A^2)) ds
Ushbu integralni baholash uchun biz qoldiqlar usulidan foydalanishimiz mumkin. Koshi taqsimoti kompleks tekislikda s = ±iA da qutblarga ega. Qoldiq teoremasini qo'llash orqali biz integralni hisoblash uchun ushbu qutblardagi qoldiqlarni topishimiz mumkin.
s = ia dagi qoldiqni Res(ia) deb belgilaymiz. Qoldiq teoremasini qo'llagan holda, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
ph(t) = 2pi * (Res(ia) + Res(-ia))
Qoldiqlarni topish uchun s ga yaqinlashganda (s - ia) * f(s) ifoda chegaralarini hisoblashimiz kerak. s = ia da qoldiqni hisoblaymiz:
Res(ia) = lim(s→ia) (s - ia) * f(s) = lim(s→ia) [(s - ia) / pA] * (A^2 / (s^2 + A^) 2)) = [(ia - ia) / pA] * (A^2 / (ia^2 + A^2)) = (A^2 / (2iA)) = A / (2i)
Xuddi shunday, biz qoldiqni s = -ia da topishimiz mumkin:
Res(-ia) = lim(s→-ia) (s + ia) * f(s) = lim(s→-ia) [(-s + ia) / pA] * (A^2 / (s^) 2 + A^2)) = [(ia + it) / pA] * (A^2 / (ia^2 + A^2)) = (A^2 / (-2iA)) = -A / (2i) )
Endi qoldiqlarni xarakteristik funktsiyaning ifodasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
ph(t) = 2pi * (Res(ia) + Res(-ia)) = 2pi * (A / (2i) - A / (2i)) = pA
Demak, A parametrli Koshi taqsimotiga ega s tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi ph(t) = pA ga teng.