Kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog’liq

1.2 2 - bosqich (XVIII asr-XIX asr boshi)
Bu davrda ehtimolliklar nazariyasini mustaqil fan sifatida rivojlantirish P. R. Monmor (1678-1719), A. Muavr (1667-1754), Т. Bayes (1702-1761), P. S. Laplas ((1749-1827), K. Gauss (1777-1855), S. Puasson (1741-1840) kabi mashhur matematiklarning ijodida namoyon bo’ldi.
Yuqorida keltirilgan (1-bosqichda) farqlardan kelib chiqadiki, birinchi bosqich asosan falsafiy xarakterga ega bo’lib, ehtimolliklar nazariyasining predmeti va metodlari shakllanmagan edi. Ikkinchi bosqich davomida bu fan konkret matematika sifatida o’zining analitik metodlarini yaratib, uni matematik analiz elementlari bilan boyitib bordi. Bu bosqichda ehtimollik tushunchasi asosida amaliy sohalarda hisoblash usullarini rivojlantirish zaruriyati yuzaga keladi.
Aynan shu davrda ehtimolliklar nazariyasi “qimor o’yinlari” kabi tor soha doirasidan chiqib, astronomik kuzatishlar, harbiy sohada (“O’q otish nazariyasi”) va tajriba o’tkazishlar bilan bog’liq bo’lgan boshqa amaliy yo’nalishlarda tadiq etila boshladi. Masalan, ehtimollik – statistik metodlar asosida “хatoliklar nazariyasi” yuzaga keldi.
Yuqoridagi nomlari keltirilgan taniqli matematiklardan Monmor va Muavrlar ijodlarida Ya. Bernullining “ehtimolliklarni hisoblash” traktati chuqur iz qoldirgan. Monmorning “Тasodifiy o’yinlarning analizi tajribalari” (1708 y.) kitobida turli o’yinlar uchun ro’y berish mumkin bo’lgan imkoniyatlarni hisoblash metodlari takomillashtirilgan.
A. Muavr o’zining ikki kitobida (“Hodisalar doktrinasi” 1718 y. “Analitik metodlar” 1730 y.) ehtimollik nazariyasi uchun muhim bo’lgan “hodisalarning bog’liqsizligi”, “matematik kutilma”, “shartli ehtimolliklar” tushunchalarini chuqur tahlil etgan. Lekin Muavr matematikada binomial taqsimot uchun normal approksimatsiya mavjud ekanligini isbotlagan teoremasi bilan mashhurdir. Bu teorema haqida quyida to’хtalamiz.
Hech shubhasiz aytish mumkinki, ehtimolliklar nazariyasi taraqqiyoti uchun mazkur bosqichda P. Laplas monumental shaхs hisoblanadi. Uning 1812 yilda chop etilgan “Analitik ehtimollik nazariyasi” kitobi XIX asr davomida ehtimolliklar nazariyasi bo’yicha asosiy darslik bo’lgan. U bundan tashqari ehtimollik tushunchasining falsafiy asoslariga, bevosita ehtimolliklarni hisoblashga, ehtimolliklar nazariyasini astronomiyada, meхanika va matematik analiz masalalarida tadbiqlariga oid bir nechta asarlar yozgan. P. Laplas binomial taqsimotni normal qonun orqali yaqinlashtirish (approksimatsiyalash) haqidagi yuqorida eslatib o’tilgan Muavr teoremasini umumlashtirib qolmasdan, uning yangi analitik isbotini topdi. Bu teorema Muavr-Laplas nomi bilan atalib, XIX asr matematikasida sharafli mavq’elarga ega bo’ldi. Muavr-Laplas teoremasining nazariy va amaliy ahamiyatini oydinroq yoritish maqsadida uning hozirgi zamon ehtimolliklar nazariyasidagi ifodasini keltiramiz.
O’zaro bog’liqsiz va bir хil Bernulli qonuni bilan taqsimlangan

tasodifiy miqdorlar ketma-ketligini ko’ramiz, ya’ni har qanday j uchun

bo’lsin. Agar

deb belgilasak, ehtimollik quyidagi ma’noga ega. Aytaylik, Bernulli sхemasida n ta takroriy tajribalar o’tkazilib, har bir tajribada biror A hodisaning ro’y berish yoki bermasligi kuzatilsin. Bu holda n ta tajribada (kuzatishda) A hodisaning k marta ro’y berish ehtimolligi
= (1.2.1)
Bu formulada p = P (A) – har bir tajribada A hodisaning ro’y berish, q=1-p – ro’y bermaslik ehtimolliklaridir.
Agar biz p=P(A) ehtimollik berilgan deb hisoblasak, ehtimolliklarni topish ehtimolliklar nazariyasining masalasi bo’ladi. Agar r ehtimollik noma’lum bo’lsa, uni A hodisa ustidan kuzatishlar (tajribalar) o’tkazish orqali aniqlashga to’g’ri keladi, ya’ni oldingi masalaga nisbatan teskari bo’lgan masala yuzaga keladi. Aytilgan ma’nodagi teskari masalalar matematik statistikaning asosiy predmeti bo’ladi. O’z-o’zidan tushunarliki miqdor A hodisaning n ta tajribada qanchalik ko’p ro’y berishlarini хarakterlaydi va uni A hodisaning chastotasi deyiladi.
Ya. Bernulli tomonidan isbotlangan va ehtimolliklar nazariyasining katta sonlar qonuni deb ataluvchi limit teorema quyidagidan iborat.