Kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog’liq

1-teorema. Har qanday uchun da
(1.2.2)
Bu teoremaning ma’nosi yetarli darajadagi katta n lar uchun bo’ladi degan хulosadan iborat. Muavr-Laplas teoremasi (1.2.2) limit munosabatdagi ehtimollikni baholash imkoniyatini beradi va u quyidagicha ifodalanadi.
2-teorema. Har qanday haqiqiy sonlar uchun
(1.2.3)
Bu tenglamaning simmetrik hol uchun (p=q=1/2) Muavr va iхtiyoriy uchun Laplas isbotlagan. Limit munosabat (1.2.3) ning o’ng tomoni Φ(b) – Φ(a) ko’rinishda yozish mumkin va bunda Φ (⋅) standart normal taqsimot funksiyasi bo’lib
(1.2.4)
Muavr-Laplas teoremasining tadbiqi sifatida quyidagi misolni ko’rish mumkin.
Rasmiy statistik ma’lumotlarga asosan o’g’il bola tug’ilish ehtimolligi o’zgarmas p=0,512 ga teng. Aytaylik, 104 bola tug’ildi. Shu tug’ilgan bolalardan o’g’il bolalar soni qiz bolalar sonidan 200 ko’p bo’lish ehtimolligi topilsin.
Qo’yilgan masala bog’liqsiz tajribalar Bernulli sхemasi doirasida quyidagicha yechiladi. Faraz qilaylik mumkin bog’liqsiz tajribalar ketma ketligi bor (n=104 ) va undagi har bir tajribaning natijasi o’g’il yoki qiz bola tug’ilishidan iborat bo’ladi. Bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar larni quyidagicha keltiramiz: =1 agar j-nchi tug’ilgan bola o’g’il bo’lsa, =0, agar u qiz bola bo’lsa. U holda

miqdor ro’yхatdan o’tgan o’g’il bolalar sonini belgilaydi. Bu holda
.
Тopilishi kerak bo’lgan ehtimollik 2-teoremaga asosan


Eslatib o’tamizki, Φ(x) funksiyaning sonli qiymatlaridan foydalanish uchun ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika bo’yicha yozilgan deyarli hamma qo’llanmalarda bu funksiya sonli jadvali keltiriladi.
Agar

formulani hisobga olsak, topilgan ehtimollikni (1.2.1) formula orqali hisoblash deyarli mumkin emasligiga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatan ham

tenglik o’rinli bo’lib, yig’indi ostidagi qo’shiluvchilarni deyarli hisoblab bo’lmaydi.
Alohida qayd qilib o’tish kerak bo’ladiki, Muavr-Laplas teoremasi (1.2.1) formuladagi binomial taqsimot parametrlari n va p lar, np → ∞ munosabatda bo’lganda (хususan p fiksirlangan holda) samarali natijalar beradi. Agar p = p(n) bo’lib va n → ∞ da asimptotik munosabat bajarilsa, Muavr – Laplas teoremasi p’rniga Puasson teoremasini ishk=latishga to’g’ri keladi.
Muavr – Laplas teoremasidan tasodifiy miqdorlarni qo’shish nazariyasi boshlanadi degan fikreni oldinga sursak, hech ham xato qilmagan bo’lamiz. Uning umumlashgan variantlari “ehtimolliklar nazariyasining markaziy limit teoremalari” nomi bilan hozirgi zamon matematikasining fundamental va praktik jihatdan juda muhim yo’nalishini tashkil qiladi (termin mashxur matematik D. Poya (1887 - 1985)tomonidan taklif qilingan).
Shu davr davomida Bernulli tomonidan ilgari surilgan va “ehtimollikning klassik ta’rifini” asoslaydigan “teng imkoniyatlilik” prinspidan chetlanish g’oyalari ham yuzaga keldi. Buning natijasida klassik sxemalarga mos kelmaydigan “noklassik taqsimotlar” mavjud bo’lishi va ular nazariya va amaliyotda muxim ro’l o’ynashi kashf etildi. Masalan, (1.2.4) formula bilan aniqlanadigan normal taqsimot, Puasson taqsimotlari shular jumlasidandir (eslatib o’tamizki butun va manfiy bo’lmagan qiymatlar qabul qiladigan tasodifiy miqdor Puasson taqsimotiga ega deyiladi, agar

bo’lsa. Тushunarliki ehtimollikning klassik ta’rifi darajasida bu taqsimotni aniqlab bo’lmaydi).
“Noklassik taqsimotlar”ni boshqa misoli sifatida “geometrik ehtimolliklarni” keltirish mumkin. Bu ehtimolliklar birinchi bor mashhur naturalist I. Nyutonda uchraydi (1665 y.). Bu ehtimolliklar Byuffonning “ignalarni tasodifiy tashlash” nomi bilan mashhur masalasida uchraydi. Тeng imkoniyatli bo’lmagan taqsimotlar 1763 yilda topilgan Bayes formulasi va unga bog’liq bo’lgan “to’la ehtimollik” formulalarini asosini tashkil qiladi va ular “klassik sхemaning” juda tor ekanligini isbotlaydi. Bu formulalar kelgusida matematik statistika masalalarida yangi yo’nalish – Bayes metodlarini yuzaga keltirdi.
Lekin aytib o’tilgan taraqqiyotlar (shu davrda erishilgan) ehtimollik nazariyasini mustaqil fan darajasiga ko’tara olmadilar, chunki bu davrda bu fan nazariya uchun umumiy (abstrakt) konstruksiyalar yo’q edi. Ikkinchidan esa, shu davrda qo’llanilgan metodlar qimor o’yinlari, хatolik nazariyasi, sodda sug’urta, demografiyaning konkret masalalarini yechish doirasida chegaralanib qolgan edi.