Kelishildi” Aniq va tabbiy fanlar kafedrasi mudiri: U. Qulmanova “ ” 2021 yil “Kelishildi”

3.Matritsaning rangi va uni hisoblash. o‘lchovli matritsada satr va ta ustunini ajratamiz, bunda, va sonlardan kichik yoki ularning kichigiga teng bo‘lishi mumkin. Ajratilgan satr va ustunlarning kesishuvida hosil bo‘lgan -tartibli determinantga matritsaning -tartibli minori deyiladi.
Ta’rif. matritsaning 0 dan farqli minorlarining eng yuqori tartibiga matritsaning rangi deyiladi. matritsaning rangi yoki bilan belgilanadi.
Matritsa rangini bevosita hisoblashda ko‘p sondagi determinantlarni hisoblashga to‘g‘ri keladi. Quyidagi amallardan foydalanib matritsa rangini hisoblash qulayroq. Matritsada: 1)faqat 0 lardan iborat satri (ustuni)ni o‘chirishdan; 2) ikkita satr (ustun)ning o‘rinlarini almashtirishdan; 3) biror satr (ustun)ning elementlarini biror songa ko‘paytirib, boshqa satr (ustun) mos elementlariga qo‘shish; 4) matritsani transponirlashdan, uning rangi o‘zgarmaydi. Bu amallarga odatda elementar almashtirishlar deyiladi.

1-misol.

matritsaning rangini hisoblang.

Yechish. matritsaning rangini hisoblash uchun elementar almashtirishlardan foydalanamiz. Birinchi satr elementlarini ikkinchi satr elementlariga, birinchi satr elementlarini (–2)ga ko‘paytirib, uchinchi satr elementlariga, hamda uchinchi satr elementlarini to‘rtinchi satr elemntlariga qo‘shib quyidagi matritsani hosil qilamiz:

Keyingi matritsada 2-satrini (–1) ga ko‘paytirib to‘rtinchi satriga qo‘shsak

matritsa hosil bo‘ladi. Bu matritsada

bo‘lib, to‘rtinchi tartibli minorlar 0 ga teng. Shunday qilib, berilgan matritsaning rangi 3 ga teng.

4. Teskari matritsa va uni topish. kvadrat matritsa uchun birlik matritsa bo‘lsa, kvadrat matritsa matritsaga teskari matritsa deyiladi. Odatda, matritsaga teskari matritsa bilan belgilanadi.
Teorema: kvadrat matritsa teskari matritsaga ega bo‘lishi uchun matritsaning determinanti 0 dan farqli bo‘lishi zarur va yetarlidir. (Bu teoremani isbotsiz keltirdik, uning isbotini kengroq dasturli kurslardan topish mumkin, masalan, V.Ye.Shneyder va boshqalar. «Oliy matematika qisqa kursi» 1tom. T. O‘qituvchi. 1985. 407 b.)
kvadrat matritsa uchun bo‘lsa , unga teskari bo‘lgan yagona matritsa mavjud.

matritsaga teskari matritsa

formula bilan topiladi. Bunda mos ravishda elementlarning algebraik to‘ldiruvchilari va .

Teskari matritsani topishga misol qaraymiz.
2-misol. Ushbu

matritsaga teskari matritsani toping.
Yechish. Oldin matritsaning determinantini hisoblaymiz:

Yuqoridagi teoremaga asosan teskari matritsa mavjud, chunki

ya’ni, berilgan matritsa maxsusmas matritsadir. ni topish uchun matritsa hamma elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz:

Teskari matritsani topish

formulasiga asosan

bo‘ladi. teskari matritsaning to‘g‘ri topilganligini

tenglikning bajarilishi bilan tekshirib ko‘rish mumkin, haqiqatan ham,
ya’ni, birlik matritsa hosil bo‘ladi, bu teskari matritsaning to‘g‘ri topilganligini isbotlaydi.
Determinantning biror a_ik xadining minori deb, shu xadda turgan i satr va k ustunni uchirish natijasida xisoblangan tartibda 1-ga kamaytirilgan _ik determinantga aytiladi.
a_ik xadning algebra tuldiruvchisi deb esa shu xad tok ustunda turganida uning musbat ishora bilan olingan, juft ustunda turganida esa manfiy ishora bilan olingan minoraga aytiladi.
Ya’ni: A_ik = (-1)^i+k _ik;
determinantga a₁₁ xadning
minori ga algebraik tuldiruvchisi xam
ga a₁₂ xadining minori gv va
algebraik tuldiruvchisi - ga teng buladi.
Xadlarning algebraik tuldiruvchilari yordamida 3-tartibli determinant kuyidagicha xisoblanadi.

= a₁₁  (a₂₂· a₃₃ - a₂₃· a₃₂) - a₁₂ ·(a₂₁· a₃₃ - a₂₃ ·a₃₁ + a₁₃· (a₂₁·a₃₂ + a₂₂· a₃₁)
Matritsani kiskacha A=(a_ij) (i=1,2,...m; j=1,2,3,...n) kurinishida yozish mumkin.
Agar matritsaning ustunlari A^*- matritsaning yullaridan iborat bulma, uning A^*- matritsaga nisbatan transpozitsiyalangan matritsa deyiladi.
Ya’ni, agar
A = bulsa, unda A^* = buladi.
Agar a_ij = a_ji' bulsa, A kvadratik matritsa bosh diagonalga nisbatan simmetrik matritsa deyiladi. Simmetrik matritsa uzining transizolyatsiyalangan matritsa bilan bir xil buladi.
Bosh diagonali elementlaridan tashkari xamma elementlari nollardan iborat matritsaga diagonalli matritsa deyiladi. Agar diagonal matritsaning bosh diagonalining elementlari birdan iborat bulsa, bu matritsa birlik matritsa deyiladi va birlik matritsa Ye xarfi bilan belgilanadi.
Ye = , ya’ni, agar a_ij =
Bitta ustundan iborat X = bunday matritsaga ustun matritsa deyiladi.
Bitta satrdan iborat Y = │y₁, y₂·… y_n│ matritsaga satr (yul) matritsa deyiladi.
Matritsaning rangi deb shu matritsaning 0 dan farkli minorning eng yukori tartibiga aytiladi.