Keyinchalik qulaylik uchun belgilashlardan foydalanamiz

3.3.1-teorema. chekli grafik bo'lsin. Kengaytirilgan Laplacian uchun , o'z juftliklari mavjud, shuning uchun:
(1) (2) (29) Dirixle shartlarini qanoatlantiradi,
(3) sistema uchun to'liq ortonormal asosni tashkil qiladi va
(4) .
Misol uchun, chekli teng qirralardan iborat narvon tipidagi graf, grafik ko'rib chiqamiz (1-rasmga qarang). Biz bog'lanishlarni (qirralarni) , deb belgilaymiz. Grafikning chetlaridagi koordinatalarni dan gacha bo'lgan oraliqda aniqlaymiz. Chiziq segmentlari grafikning bog'lanishlari deb ataladi. (narvon tipidagi graf) bo'yicha (3.2.1) tenglama uchun to’g’ri masalani o'rganamiz. Bunda (3.2.1)-(3.2.3) shartlarga mos keluvchi quyidagi shartlarni olamiz:



(3.3.2)-(3.3.3) shartlarga mos keladigan quyidagi shartlarni olamiz:



Umumiy yechim (3.3.4) ga (3.3.9)-(3.311.) shartlarni qo’llash orqali hosil qilingan tenglamalar tizimining matritsasi quyidagicha:

bu yerda




bunda .
Bu erda matritsasining determinantini nolga tenglashtirib xos qiymatlarini topamiz. Keling, yana bir aniq misolni ko'rsatamiz. bo'lsin, (1-rasmga qarang), ya'ni biz 5 qirrali metrik grafikni ko'rib chiqamiz, biz mos ravishda qirralar to'plamini kiritamiz.
Bu holda biz quyidagi xos qiymatlarni olamiz , , , .
xos qiymatlari uchun quyidagi xos funktsiyalarning ortonormal tizimi
,


Xos qiymatlarga mos keladigan xos funktsiyalar , are


Umuman olganda, kvant grafining xos qiymatlari va xos funksiyalarini topish mualliflar soni bo'yicha o'rganiladi (qarang [28, 24] va undagi havolalar).
Endi biz umumiy bog'langan metrik graf holatida (3.2.1) – (3.2.3) masalani tadqiq etamiz.
3.3.1-teorema shartlaridan kelib chiqadiki, har bir uchun . Kvant grafigining o'ziga xos funktsiyalari bo'yicha Furye qatoriga kengaytiramiz, ya'ni.

(3.2.1) tenglamaning yechimini quyidagi ko’rinishda qidiramiz

(3.3.12) ni (3.2.1) tenglamaga almashtirib, quyidagia ega bo’lamiz

Bizda quyidagi bir jinsli bo'lmagan kasr tartibli differentsial tenglama mavjud

bunda
Birinchidan, holni ko'rib chiqamiz. Bu holda (3.3.13) tenglamaning yechimi ushbu ko’rinishga ega (qarang [31]):


bu yerda .
Bundan tashqari, biz deb taxmin qilamiz, u hamma joyda paydo bo'ladi.
(3.3.12) va (3.3.14) ga asosan (3.2.1) tenglamaning umumiy yechimini quyidagi shaklda yozishimiz mumkin:


operatorini (3.3.15) ga qo'llash va 3.1.1-ta'rifni hisobga olgan holda, biz mavjud

funktsiyasini Furye qatoriga yoyamiz:

Nihoyat, (3.2.1)-(3.2.3) shartlarni qanoatlantiruvchi (3.2.1) tenglamaning yechimi da quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:


sohadagi va funksiyalariga mos keladigan cheksiz qatorlarning yaqinlashuvini isbotlash talab etiladi.
Ortonormal xos funksiyalar uchun quyidagi faraz qilamiz (qarang [21])

bo’laklab integrallash va 3.3.1-teorema shartlarini hisobga olgan holda biz olamiz

Demak, bizda bor

bu yerda . Natijada


(3.3.16)-(3.3.20) dan olamiz





bu erda da bo'lgani uchun biz funksiyalariga mos keladigan qatorlar da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi degan xulosaga keldik.
Xuddi shunday, biz ham olamiz


Oxirgi munosabatdan xulosa qilamizki, funksiyalarga mos keladigan qatorlar da tekis yaqinlashadi.
Endi, quyidagini hisoblaymiz:

Quyidagini olamiz:










Bu yerda , . ( musbat konstanta) asimptotalariga ko’ra, biz qatorlar da tekis yaqinlashadi, degan xulosaga kelamiz. Xuddi shunday, , va funktsiyalarga mos keladigan qatorlar da tekis yaqinlashishini ko'rsatish mumkin.
Endi holni ko'ramiz. Bu holda (3.3.13) tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:


Bu yerda .
(3.2.1) tenglamaning yechimini quyidagi shaklda yozamiz:


(3.3.22) ga operatorni qo'llash va 3.1.1-ta'rifni hisobga olgan holda (3.2.1) shartlarga asoslanib, quyidagini olamiz:


Demak, quyidagi hosil bo’ldi:


(3.2.2) dan (3.2.3) uchun buni topamiz

So’ng, ikki marta bo’laklab integrallab va 3.1.1-teorema shartlarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

Natijada, hol uchun (3.2.1)-(3.2.3) shartlarni qanoatlantiradigan (3.2.1) tenglamaning yechimi quyidagi ko’rinishga ega:


da da , , funksiyalarga mos keladigan cheksiz qatorlarning yaqinlashishini isbotlash talab qilinadi.
Biz bilamizki, (3.3.19) ga o'xshab, quyidagi tengsizliklar mavjud:

bu yerda . (3.3.17) tengsizliklardan va 3.1.5-Lemmadan foydalanamiz. (3.3.18) va (3.3.27) dan quyidagilarni olamiz:






bu yerda Shunday qilib, funksiyalarga mos keladigan qatorlar da tekis yaqinlashadi.
Shu tarzda, quyidagilarni hosil qilamiz:


Endi, quyidagini ko’ramiz:
Bilamizki,









( musbat konstanta) asimptotlarga ko'ra, va mos keladigan qatorlar da tekis yaqinlashadi, degan xulosaga kelamiz. Xuddi shunday, funksiyalarga mos keladigan qatorlar da tekis yaqinlashishini ko'rsatish mumkin
Yuqorida ko'rsatilgan yagona yaqinlashuvning xossalaridan kelib chiqadiki, Furye qatori bilan aniqlangan holat uchun (3.3.16) va uchun (3.3.22) funksiyalar (3.2.1) tenglamani va tegishli (3.2.2) - (3.2.3) boshlang'ich, uch va chegaraviy shartlarini qanoatlantiradi. Bu masalaning regulyar yechimi mavjudligini isbotlaydi. Teorema isbotlandi.