Keyinchalik qulaylik uchun belgilashlardan foydalanamiz

3.3 Gilbert fazosidagi Metrik grafda berilgan kasr differensial tenglama uchun qo’yilgan masala yechimining mavjudligi

O'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanamiz. Bir jinsli tenglamaning yechimini quyidagi ko’rinishda qidiramiz:

va quyidagini olamiz
(3.3.1)
(3.2.3)-(3.2.4) shartlardan quyidagi uch shartlarini olamiz
Uzluksizlik shartlari: bir jinsli bo'lgan barcha funksiyalarining ichki uchidagi qiymatlar va
Tarmoqlanish nuqtalarida oqimning lokal saqlanish shartlari: nolga teng bo'lgan barcha funksiyalarining har bir uchida bir tomonlama hosilalarining yig'indisi:

chegaraviy shartlar

(3.3.1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishga ega

(3.3.1)–(3.3.3) masala metrik grafdagi spektral masaladir [24]. Odatda, bunday graf, uning ustidagi (3.3.1)–(3.3.3) spektral masala ko'rib chiqilsa, kvant grafi deyiladi.
va koeffitsientlari noma'lum bo'lgan har bir uchda (3.3.4) dan foydalanib, (3.3.2)-(3.3.3) shartlar bir jinsli sistemani beradi

noma'lum koeffitsientlar vektori uchun tenglamalarining

The matrix is singular at the eigenvalues We call these -values resonant frequencies. A practical, robust computational algorithm for the computation of these eigenvalues and eigenvectors was proposed and studied in [27].
matritsasi xos qiymatlari singulyar xos qiymatlardir. Biz bu qiymatlarni rezonans chastotalar deb ataymiz.
Umumiy metrik graflar holatida spektral masala (3.3.1)–(3.3.3) [24, 28, 29] da tekshirildi. Bu holda graf "kvant" grafi va (3.3.2)–(3.3.3) shartlar bilan birgalikda grafning har bir uchida aniqlangan operatori "qirraga asoslangan" Laplas deb ataladi (qarang [29]).
Keling, xos qiymatlarni hisoblash funksiyasini kvant grafining dan kichik bo'lgan xos qiymatlari soni sifatida aniqlaylik,

This number is guaranteed to be finite for each fixed , since the spectrum of a quantum graph is discrete and bounded from below (see [24, 28]). We count the eigenvalues in terms of as this is more convenient and can be easily related back to .
Kvant grafining spektri diskret va quyidan chegaralanganligi sababli, bu raqam har bir mahkamlangan bo'lgani uchun chegaralangan bo'lishi kelib chiqadi. Biz xos qiymatlarini bo'yicha hisoblaymiz, chunki bu qulayroq va bilan osongina bog'lanishi mumkin.
hisoblash funksiyasi da chiziqli ravishda o'sib boradi, burchak grafning umumiy uzunligiga proportsionaldir. Ushbu turdagi natija Veyl qonuni sifatida tanilgan.
3.3.1-lemma.(qarang [30]) har bir chegara uchida Neyman yoki Dirixlet shartlariga ega bo'lgan graf bo'lsin. U holda

bu yerda - grafik qirralarining umumiy uzunligi va qolgan a'zo yuqoridan va quyidan - ga bog'liq bo'lmagan doimiylar bilan chegaralanadi.
Bizning holatimizda bo'lgan masalalarning vektor xos funktsiyalari qo'yamiz (3.3.1)–(3.3.3) , . , , ..., ... ga mos keluvchi xos qiymatlarning kamaymaydigan ketma-ketligi bo'lib, ular ko'plikni hisobga oladi (ya'ni ko'pligi bilan xos qiymatlar marta olinadi). Yuqoridagi 3.3.1-lemmadan shunday xulosa kelib chiqadi at .