Keyinchalik qulaylik uchun belgilashlardan foydalanamiz

3.2. Metrik graf va ba'zi Gilbert fazolari

bog'langan grafni ko'rib chiqamiz, bu erda - uchlar to'plami va sohaning chegaraviy nuqtalari bilan bog’langan qirralar (chiziq oraliqlari). Biz uchi chegara bilan bog’lamgan bo'ladi, deb aytamiz, agar u bu uchning oxirgi nuqtalaridan biri bo'lsa va ko’rinishda yozamiz. to'plamining elementlari soni uchning valentligi deb ataladi. Agar uchning valentligi birga teng bo'lsa, u chegara uchi deyiladi. Faraz qilaylik Grafning chegara uchlari to'plami bo'lsin.
Grafikning har bir chekkasidagi koordinatalarini ushbu qirralarning , oraliqlariga izometrik akslantirishdan foydalanib aniqlaymiz, endi biz grafmizni metrik graf deb atashimiz mumkin [24]. Shuni ta'kidlash kerakki, metrik grafning nuqtalari nafaqat uning uchlari, balki qirralarning barcha oraliq nuqtalaridir. Shunday qilib, biz grafdagi funksiyalar haqida gapirganda, biz ularni qirralar va uchlar bo'ylab aniqlangan deb hisoblaymiz (diskret modellarda bo'lgani kabi, faqat uchlarda emas).
Keyinchalik qulaylik uchun belgilashlardan foydalanamiz

( - dagi nuqta) grafda belgilangan funksiyasi bo’lsin. Bundan tashqari, soddalik uchun biz o'rniga dan foydalanamiz.
Uzluksiz funksiyalar haqida gapirganda uzluksiz funksiyalarining standart fazosini aniqlash mumkin [24]. Qirralar bo'ylab koordinatasining mavjudligi Lebeg o'lchovi ni grafda tabiiy tarzda aniqlash imkonini beradi. Ushbu o'lchovga ega bo'lgan holda, da ba'zi boshqa standart funksiyalar bo'shliqlarini aniqlash mumkin. Biz birinchi navbatda segmentidagi funksiyalarning Sobolev fazosi belgilaymiz, ularning tartibigacha barcha taqsimot hosilalari ga tegishli.
Ta'rif 6. bo'yicha fazosi o'lchanadigan va har bir chekkasida kvadrat integrallanishi mumkin bo'lgan funktsiyalardan iborat bo'lib, skaler mahsulotga ega.

va norma

Boshqacha qilib aytganda, soha sohalarining ortogonal to'g'ri yig'indisidir.
Sobolev fazosi har bir chekkasi uchun ga tegishli bo'lgan dagi barcha uzluksiz funksiyalardan iborat.

Ushbu ta'rifdagi yig'indilarning chegaralanganlik shartlari faqat cheksiz graflar uchun tegishli ekanligini ko'ramiz.
Yuqorida belgilangan grafning har bir chetida biz kasrli differensial tenglamalarni ko'rib chiqamiz

, where is Hilfer's fractional differential operator, , , .
Keyinchalik ko'rib chiqish uchun biz grafda aniqlangan funksiyalar uchun yuqorida aytib o'tilganidek , ni qo'yamiz.
Masala. sohada funksiyalarni topish uchun da quyidagi xossalarga ega (3.2.1) tenglamani qaraymiz:



boshlang’ich shrtlar bilan:

Grafning tarmoqlanish nuqtalarida (ya'ni, ichki uchlarida) yechim quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
Uzluksizlik shartlari: bir jinsli bo'lgan barcha funktsiyalarining ichki uchidagi qiymatlar va
Tarmoqlanish nuqtalarida oqimning lokal saqlanish shartlari: nolga teng bo'lgan barcha funksiyalarining har bir uchida bir tomonlama hosilalarining yig'indisi:
(3.2.3)
va chegaraviy shartlar

bu yerda yetarlicha silliq berilgan funksiyalar.
Shuni eslatib o’tamizki, o'zgaruvchan koeffitsientli uchinchi tartibli psevdoparabolik tenglamalar va tartibli Riemann-Liouville kasr hosilasi uchun chegaralangan oralig'da lokal va nolokal chegaraviy masalalar,

qaysiki g'ovakli muhitlarda suyuqliklarni filtrlash jarayonlarida va tuproqlarda namlik va tuzni saqlanish jarayonlarida matematik model sifatida paydo bo'ladi [25].
musbat, manfiy o’zgarmaslar, bazislar , va lar mos ravishda va lokal integrallanuvchi bo’lsin. Bundan tashqari, (3.2.2)-(3.2.4) shartlar funksiyalari uchun ham amal qiladi,
.
Keyingi masalaning yagona regulyar yechimi mavjudligi tadqiq etamiz.
operatorni quyodagicha yozish mumkin


Belgilashlar kiritamiz

(3.2.1) tenglamani quyidagicha yozamiz

Keyinchalik operatorini oxirgi tenglamaning ikkala tomonida qo'llaymiz va 2.1.2-lemmadan foydalanib, quyidagini olamiz

2.1.3 ta'rifdan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz

bunda . Bu belgilashlarda (3.2.2)-(3.2.4) va (3.2.6) shartlar quyidagi ko’rinishgakeladi
(3.2.8)
Bizda mavjud uch shartlaridan
Uzluksizlik shartlari: bir jinsli bo'lgan barcha funksiyalarining ichki uchidagi qiymatlar va
Tarmoqlanish nuqtalarida oqimning lokal saqlanish shartlari: nolga teng bo'lgan barcha funksiyalarining har bir uchida bir tomonlama hosilalarining yig'indisi:
(3.2.9)
va chegara shartlardan quyidagilarni olamiz
(3.2.10)
Birinchidan, ni ko'rib chiqamiz.