Keyinchalik qulaylik uchun belgilashlardan foydalanamiz

3.2.1-lemma. 3.1.1-teoremaning shartlari bajarilsin. U holda masala yechimi uchun quyidagi aprior baholar o’rinli

Bu yerda and musbat o’zgarmaslar.
Isbot. (3.2.7)-(3.2.10) masalani yechish uchun aprior baho olamiz. Buning uchun funksiyasi bo'yicha tenglama (3.2.7) ning ikkala tomonining ichki uchlarini olamiz va


bunda . tengsizlik ko’ra

tengsizlikga ega bo’lamiz. Natijada

Bo’laklab integrallash formulasi va (3.2.10) chegara shartlaridan hamda 3.2.6-ta'rifdan foydalanib, biz olamiz


(3.2.9) shartlarni hisobga olgan holda quyidagilarga ega bo’lamiz

(3.2.10) chegara shartlaridan foydalanib


(3.2.9) va (3.2.13) shartlardan biz olamiz


(3.2.11) ni hisobga olib, (3.2.12)-(3.2.17) dan quyidagilarni olamiz


Bu tengsizlikni quyidagicha yozishimiz mumkin


(3.2.18) tengsizlikga ko’ra

Umumlashtirilgan Gronwall-Bellman tengsizligidan foydalanib quyidagi tengsizlikga ega bo’lamiz

bu yerda ( ) musbat o’zgarmaslar.
Bundan 6 lemma isbotlandi.
Agar , va , hamda . 3.2.6 lemmaga ko’ra . Demak, hol uchun (3.2.1)-( 3.2.4) muammoning yechimi mavjud bo'lsa, bu yechim yagona ekanligini aytishimiz mumkin.
Endi biz holni ko'rib chiqamiz.
3.2.2-lemma. 3.2.1-teorema shartlari bajarilsin. U holda masala yechimi uchun quyidagi aprior baho o’rinli


bu yerda , musbat o’zgarmaslar, . Bundan tashqari, o'rganilayotgan masalani tadqiq etish uchun aprior baho olamiz. Buning uchun (3.2.6) tenglamaning ikkala tomonining funksiyaga skalyar ko’paytiramiz

bunda . (3.2.12) tengsizlikdan quyidagi o’rinli







(3.2.9) ga ko’ra, 1 teorema va (3.2.12) shartlardan biz ega bo'lamiz

(3.2.17) tengsizlikdan biz ham olishimiz mumkin

Bajarilgan o'zgarishlarni hisobga olib, (3.2.21) dan tengsizlikni chiqaramiz ( )


Ushbu munosabatni dan gachaoraliqda integrallaymiz va

tengsizlikni olamiz

bu yerda , , . (3.2.26) ga ko’ra,

Natijada [26] dan keyin quyidagi tengsizlikka kelamiz


shuning uchun

bunda va . Oxirgi tengsizlikdan 3.2.7-Lemma isbotlandi. Berilgan sxemadan foydalanib, Lemma 6 va Lemma 7 dan biz osongina ko’rishimiz mumkin, (3.2.7)-(3.2.10) masalaning yechimi, agar mavjud bo'lsa, yagonadir.