Kirish II bob. Tekislik va uning tenglamalari

Kurs ishining maqsadi: Geometriya fanining ba’zi bir tadbiqlari va asosiy xossalari haqida eng muhum tushunchalarini o’rganish va Geometriya kursida olgan bilimlarimizni mustahkamlash.
Hozirgi zamon ilmiy texnika taraqqiyoti muhandis – texnоlog mutaxasislarining matematik tayyorligini takomillashtirishni talab etadi. Shu nuqtai nazardan oily texnika o’quv yurtlari talabalari oldida turgan asosiy vazifalardan biri, ular o’z bilimlarini mustaqil to’ldira olishlari, zarurratga qarab esa mutlaqo yangi sohalar va fanlarni mustaqil egallay olishlaridan iborat.
Ushbu uslubiy qo’llanma “Analitik geometriya”ning asosiy bo’limlaridan “Fazoda to’g’ri chiziq va tekislik” bo’limidan “Mustaqil ta’lim” topshiriqlarini bajarish bo’yicha tegishli uslubiyat bayon etilgan. Har bir mavzuga doir bir nechta namunaviy misollar to’la va mukammal yechib ko’rsatilgan, hamda har bir talabaga alohida variantda mustaqil ishlar berilgan.
Bu qo’llanma davlat ta’lim standartlari. oily matematika bo’yicha “Kimyo texnologiya-biotexnolgiya, oziq-ovqat texnologiyasi, KPT (KT)” yo’nalishlari o’quv ishchi dasturiga to’liq mos keladi. Undan boshqa o’quv yurti talabalari qo’shimcha adabiyot sifatida foydalanishlari mumkin.
I BOB. TEKISLIK VA UNING TENGLAMALARI
1 – §. Tekislikning berilish usullari.
Fazoda ikki nuqta berilgan bo’lsin. Bu nuqtalardan bir xil masofada turgan nuqtalar to’plami (nuqtalarning geometrik o’rni) tekislik deb qaraladi.
Aytaylik F sirt va unda yotuvchi R nuqta olaylik. R nuqta orqali ( tekislikni o’tkazamiz. Sirt ustida R nuqtaga yaqin Q nuqtani olamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: =(Q,)=h, (Q, р)=d.
Ta‘rif. Agar Q nuqta R nuqtaga intilganda h/d 0 ga intilsa( tekislikni F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi deyiladi.
Teorema. Xar qanday F silliq sirt o’zining xar bir nuqtasida urinma tekislikka ega bo’lib, u yagonadir. Agar r=r(u,v) tenglama F sirtning silliq parametrlangan bo’lsa, R nuqtadagi urinma tekislik ru va rv vektorlarga // dir.
Isbot. Faraz qilaylik ( tekislik F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi bo’lsin. U xolda ta‘rifga asosan Q(r da (h/d)(0 bo’ladi. Agar n orqali ( tekislikning normal birlik vektorini belgilasak
d=|r(u+u, v+v)-r(u,v)|
_­h=|(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|
bo’ladi. Bundan
(h/d)= |(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v+v)-r(u,v)|
nisbat 0 ga intiladi.
Ta‘rifga asosan (u va (v larning xar biri aloxida 0 ga intilganda (h/d)(0 bo’ladi.
Xususan,
(|(r(u+u, v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v)-r(u,v)|)0
Lekin oxirgi ifodani surat va maxrajini u ga бo’либ, u0 da limitga o’tsak,
(|r_u(u,v)n|/|r_u(u,v)|)0
ni topamiz.
Demak, r_u(u,v)n=0. Bundan r_un kelib chiqadi. Bu esa r_u vektorni  tekislikka parallel ekanini ko’rsatadi. Xuddi shuningdek r_vn=0 dan r_v n ni yoki r_v// ekanini topamiz.
Agar r_u va r_v vektorlarni 0 dan farqli va [r_u, r_v]0 ekanini etiborga olsak, urinma tekislikning yagonaligi kelib chiqadi. Shuningdek urinma tekislikning mavjud ekandigini xam ko’rsatish oson.
Urinma tekislikning tenglamalari.