Kirish II bob. Tekislik va uning tenglamalari

2 – §. To’g’ri chiziqning turli tenglamalari.

1. 
   _a^x ; _b^y ; _c^z ; 0 (16) ko’rinishdagi tenglama, tekislikning koordina o’qlaridan
   

a jratgan kesmalarga nisbatan tenglamasi deyiladi (12-chizma)

3. 
   Umumiy ko’rinishda berilgan A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 va A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 tekisliklar orasidagi burchak (13-chizma):
   

Cos(6 B=0 va D=0) bo’lsin. Bu Bu tenglama Oy o’qidan o’tgan (18) formula bilan
aniqlanadi.

	A1		B1		C1	(19) tekisliklarning parallellik, A1A2+B1B2+C1C2=0 (20)
	^A2		^B2		^C2

perpendikulyarlik shartlari bo’ladi.

5. Ax+By+Cz+D=0 (8) tekislikning umumiy tenglamani normal shaklga keltirish
uchun uni hadma-had normallovchi ko’paytuvchi M

Agar D<0 bo’lsa, (21) va (22) formulalarning o’ng tomonida musbat, D>0 bo’lsa, manfiy ishora olinadi.

6. 
   M₁(x₁;y₁;z₁) nuqtadan xcos; +ycos ; +zcos ; -p=0 (5) tekislikkacha bo’lgan d masofa: d=|x₁cos; +y₁cos ; +z₁cos ; -p| (23); agar tekislikning tenglamasi vektor
   

aniqlanadi. M₁(x₁;y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂), M₃(x₃;y₃;z₃), nuqtalardan o’tuvchi tekislik tenglamasi:
mos ravishda M₁, M₂, M₃ nuqtalarning radius-vektorlari.

8. 
   M₁(x₁;y₁;z₁) nuqtadan o’tib, A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 tekislikka parallel bo’lgan
   

tekislik tenglamasi: A₁(x-x₁)+ B₁(y-y₁)+ C₁(z-z₁)=0 (28)

9. 
   M₁(x₁;y₁;z₁) va M₂(x₂;y₂;z₂) nuqtalardan o’tib, Ax+By+Cz+D=0 tekislikka perpendikulyar bo’lgan tekislik tenglamasi:
   

2

x x1

y y1

z z1

1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

(29), ya’ni aralash ko’paytma nolga

M

^M1

M

n

A

B

C

teng. Bunda M (x;y;z) izlanayotgan tekislikning ixtiyoriy nuqtasi.

3 – §. Fazodagi to’g’ri chiziq va tekislikning o’zaro vaziyati.

To’g’ri chiziq

Bilan
Ах+Bу +Сz +D=0,
tekislikning kesishish nuqtasini topish uchun bu tenglamani birgalikda yechish kerak. Agar ( 14) dagi uchta nisbat o’rniga unga teng p parametr ishlatilsa, yechish ancha ixcham bajariladi. Bu uch tenglamani birgalikda yechish kerak. Agar ( 14 ) dagi uchta nisbat o’rniga unga teng parametr ishlatilsa, yechish ancha ixcham bajariladi. Bu holda
х = m + а, у = n + b, z = + с bo’ladi; koordinatalarning bu qiymatlarini tekislikning ( 15) tenglamasiga quyib ning qiymatini hosil qilamiz, so’ngra izlangan koordinatalarni topamiz.
( 14) to’g’ri chiziq bilan ( 15 ) tekislik orasidagi burchak ushbu formula bilan hisoblanadi:
sin =
( 14 ) to’g’ri chiziq bilan ( 15 ) tekislikning parallellik sharti:
Аm +Bn+Cp=0.
To’g’ri chiziq bilan tekislikning perpendikulyarlik sharti:

( 14 ) to’g’ri chiziqning ( 15 ) tekislikda yotish sharti quyidagi ikki tenglik bilan ifodalanadi:

с) to’g’ri chiziqqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazilsin.

828. to’g’ri chiziq bilan 3х + 5у – z -2 = 0 tekislikning kesishish nuqtasi topilsin.
829. Kesishish nuqtasi topilsin:
а) to’g’ri chiziq bilan 3х – 3у + 2z – 5 = 0 tekislikning;
b) to’g’ri chiziq bilan x + 2u -4z +1=0 tekislikning;
с) to’g’ri chiziq bilan 3х –у + 2z- 5 =0 tekislikning.
830. tekislik bilan
va to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtalaridan o’tuvchi to’g’ri chiziqning tenglamalari tuzilsin.
831. A koeffetsentining qiymati qanday bo’lganda Ах + 3у – 5z + 1 = 0 tekislik to’g’ri chiziqqa parallel bo’ladi?
832. A va В koeffetsentilarining qiymatlari qanday bo’lganida Ах + Ву + 6z – 7 = 0 tekislik

To’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’ladi?
833. (+ 3; - 2; + 4) nuqtadan tekislikka perpendikulyar tushirilsin
834. Koordinatalar boshidan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tekislik o’tkazilsin.
836. Tekshirib ko’rilsin:
а) to’g’ri chiziq 4х + 3у – z + 3 = 0 tekislikda yotadimi;
b) to’g’ri chiziq 5х – 8у – 2z – 1 =0 tekislikda yotadimi;
с) to’g’ri chiziq 3х – 2у – z + 15 = 0 tekislikda yotadimi?
837. ( + 3; + 1; - 2) nuqtadan va to’g’ri chiziqdan o’tuvchi tekislikning tenglamasi tuzilsin.
839. to’g’ri chiziqning х- у + 3z + 8 = 0 tekislikdagi proektsiyasi topilsin.
843. P( + 4; - 3; + 1) nuqtadan o’tuvchi hamda
ва
to’g’ri chiziqlarga parallel tekislikning tenglamasi tuzilsin.
848. P( + 7; + 9; + 7 ) nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa topilsin.
SFERA
Yasovchi ( х, у, z ) nuqtaning sfera markazi deb atalgan o’zgarmas ( a, b, s) nuqtadan sfera radiusiga teng o’zgarmas R masofada yotishini analitik usulda ifodalab sferik sirtning tenglamasini hosil qilamiz:
( х – а) + ( у – b)² + ( z- с )² =R²,
Yoki qavslarni ochib yozilsa:
х²+ у²+z²-2ах – 2bу -2сz + а² + b² + с² – R²=0
shaklni oladi.
Sferaning tenglamasida to’rtta erkin parametr bor; ular: markazning koordinatalari va radiusdir. Bu tenglama ikkinchi darajali bo’lgani uchun sfera ikkinchi tartibli sirtdir. Sferaning ( 2 ) tenglamasi shunday xususiyatga egaki, unda ikkinchi darajali koordinatalarning koeftsentlari bir – biriga teng, koordinatalarning kupaytmalardan iborat bo’lgan xadlar yuq..Aksincha, agar ikkinchi darajali tenglama shu ikki shartni qanoatlantirsa u sferani ifodalaydi, (2) tenglamaning bir xil koordinatali hadlari gruppalarini tula kvadratlarga to’ldirish yuli bilan uni (1) ko’rinishga keltirish mumkin. Bunda R2 uchun musbat, nol yoki manfiy qiymat chiqishi mumkin; shunga qarab sfera haqiqiy, nol (bittagina haqiqiy nuqta) yoki mavhum bo’ladi. Agar koordinatalar boshi sfera markaziga ko’chirilsa, uning tenglamasi soddalashib, quyidagi kurinishga keladi:
Sfera har qanday to’g’ri chiziq bilan ikki umumiy nuqtaga ega bo’ladi (haqiqiy yoki mavhum) agar ikkala kesishish nuqtasi birlashib ketsa, to’g’ri chiziq sferaga urinadi va uning sfera markazidan masofasi radusiga teng bo’ladi.
Sferik sirt har qanday haqiqiy yoki mavhum aylana bo’yicha kesishadi. Agar tekislik sfera markazidan radiusga tengmasofada bo’lsa, bu holda kesishish chizig’i nol radusli doiraga aylanadi (bitta haqiqiy nuqta); tekislik sfera urinadi, bu nuqtada sferaga urinuvchi hamma to’g’ri chiziqlar shu tekisda yotadi. (1) sferaga (х₁, у₁, z₁) nuqtada urinuvchi tekislikning tenglamasi
.
bo’ladi.
Agar sferaning markazi koordinatalar boshiga ko’chirilsa, urinma tekislikning tenglamasi bunday ko’rinishni oladi: