Классификация случайных событий. Классическое определе­

Оценка генеральной средней по собственно-случайной вы­борке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.

Пусть из генеральной совокупности объема N отобрана случайная выборка , где Xk - СВ, выражающая значение признака у k-гo элемента выборки (k=1,2, ...,n). Следует найти «наилучшую» оценку для генеральной средней.
Рассмотрим в качестве такой возможной оценки выборочнyю среднюю х, т.е. .
а) Выборка повторная.
Закон распределения для каждой случайной величины (k=1,2,...,n) имеет вид:
С лучайные величины независимы, т.к. независимы любые события (k=1,2,...n; i=1,2,...,m) и их комбинации.
Найдем числовые характеристики СВ :
, (1)
. (2)
т.е. мат-кое ожидание и дисперсия каждой СВ - это соот-но генеральная средняя и генеральная дисперсия.
Теорема. Выборочная средняя повторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней причем .
□ Докажем вначале несмещенность оценки. Найдем мат-кое ожидание выборочной средней , учитывая (2) и то, что - независимые случайные величины:
.
Осталось доказать состоятельность оценки , которая следует непосредственно из теоремы Чебышева: или
б) Выборка бесповторная
В этом случае случайные величины будут зависимыми.
Теорема. Выборочная средняя бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней , причем
.

39. 
    Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.
    

На первый взгляд, наиболее подходящей оценкой для генеральной дисперсии является выборочная дисперсия . Следующая теорема свидетельствует о том, что не является «наилучшей» оценкой.
Теорема. Выборочная дисперсия повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии .
Δ Принимая без док-ва состоятельность оценки , докажем, что она - смещенная оценка. В соответствии с 4 свойством дисперсии: . На основании свойства 3 средней арифметической и дисперсии , если все значения признака уменьшить на одно и то же число С, то средняя уменьшится на это число, т.е. , а дисперсия не изменится:
.
Полагая , получим .