Колебания называются

§1.2. Зависимость амплитуды и начальной фазы колебаний от начальных условий.
Решения дифференциального уравнения колебаний определены с точностью до постоянной величины, поэтому таких решений бесчисленное множество. Выбор решения для данной конкретной колебательной системы можно сделать, если задать ее поведение в начальный момент времени, то есть начальные условия. Например, если просто отклонить маятник, растянув пружину, а затем спокойно отпустить его, или отклонить, а затем подтолкнуть маятник, то движения маятника будут различными. Рассмотрим зависимость параметров колебательной системы от начальных условий.
Пусть при t = 0 смещение системы от положения равновесия равно х₀, а начальная скорость v₀. Гармоническое колебание описывается уравнением .
При t = 0 имеем два уравнения:
, .
Возведя в квадрат оба уравнения и сложив их, получим уравнение для амплитуды:
.
Поделив одно уравнение на другое, получим соотношение для начальной фазы:
.
Таким образом, и амплитуда, и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий колебательной системы.
§1.3. Свободные гармонические колебания в LC-контуре.
1. Электромагнитный контур состоит из плоского конденсатора емкостью С и катушки индуктивности (соленоида) с индуктивностью L. Такой контур называется идеальным контуром с распределенными параметрами. Конденсатор зарядили, на одной пластине заряд +q, на другой (–q). Рассмотрим процессы в LC – контуре за время T, называемое периодом колебаний.
Момент времени t = 0. Конденсатор заряжен, ключ “К” разомкнут, ток в контуре не идет:
I = 0, ,

Ключ замкнут, по цепи идет ток разрядки до тех пор, пока не выровняются потенциалы обкладок конденсатора. При


Когда конденсатор разрядится, ток разрядки прекратится. Магнитное поле в катушке индуктивности, не поддерживаемое током, начнет уменьшаться. Уменьшение магнитного поля вызовет уменьшение магнитного потока сквозь площадь катушки, возникнет ЭДС индукции. По цепи контура пойдет индукционный ток того же направления, что и ток разрядки (правило Ленца). Это приведет к перезарядке конденсатора. При

Направление тока разрядки в контуре изменится. Ток разрядки будет идти по цепи до выравнивания потенциалов на обкладках конденсатора.
При
При t = T система вернется в исходное положение.
В рассмотренном LC – контуре происходит превращение энергии из одного вида в другой и обратно, полная энергия контура - величина постоянная _.
Периодические изменения вектора напряженности Е электрического поля и вектора магнитной индукции В магнитного поля в закрытом колебательном LC – контуре называется электромагнитными колебаниями.
2. Используем 2-й закон Кирхгофа для получения дифференциального уравнения электромагнитных колебаний.
Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма падений напряжений на всех его участках равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре (2-ой закон Кирхгофа).
Падение напряжения на обкладках конденсатора в LC – контуре равно

где q – величина заряда на обкладках, С – емкость конденсатора. ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении тока в ней, определяется формулой: (закон Фарадея для самоиндукции).
Второй закон Кирхгофа для LC – контура имеет вид:
или .
По определению сила тока равна первой производной по времени от заряда , тогда .
Преобразуем уравнение 2-ого закона Кирхгофа, получим

Обозначим , получим окончательно уравнение вида:

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, решениями которого являются уравнения:
или .
И дифференциальное уравнение для электромагнитных колебаний, и его решения подобны тем, которые получены для механической системы (пружинного маятника).
Величины, входящие в уравнения электромагнитных колебаний, имеют следующий смысл:
q₀ – амплитуда заряда – максимальный заряд конденсатора;
q – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;
– фаза колебаний – величина, определяющая заряд конденсатора в любой момент времени t;
α – начальная фаза определяет заряд конденсатора в начальный момент времени (t = 0).
Циклической частотой периодических колебаний в LC – контуре является величина .
Период колебаний равен (формула Томсона).
Определим зависимость силы тока, ЭДС и энергии колебаний от времени в LC – контуре. Уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора возьмем в виде:
Сила тока в контуре определяется соотношением:
.
Величину называют амплитудой силы тока.
Уравнение для ЭДС имеет вид:
.
Величина – амплитуда ЭДС.
Электрическая и магнитная энергия изменяется согласно уравнениям:


Полная энергия колебаний в LC - контуре не зависит от времени (закон сохранения энергии).
Графики зависимостей от времени t физических величин, характеризующих электромагнитных колебаний в LC – контуре, аналогичны графикам для механических колебаний (см. Рисунок 1.2).
Если заряд на обкладках изменяется по закону , т.е. начальная фаза α = 0, то его график такой же как график смещения.
Напряжение между обкладками конденсатора изменяется по тому же закону, что и заряд конденсатора, только амплитуда напряжения будет другой .
Изменение силы тока аналогично изменению скорости тела при механических незатухающих колебаниях. W_эл. изменяется как W_пот., а W_магн. - как W_кин..