Колкер алексей Борисович

у
т п
вычисляемое этим алгоритмом, определяется из условия
(О
где - значения исходного изображения, попавшие в апертуру, N -
количество точек в окне фильтрации.
В диссертационной работе вводится новый класс фильтров, основанный
на взвешивании метрики, определяющей расстояния между точками. Определим
для каждой точки х, величину
(2)
9

---

где Q определяет «степень взвешивания» и, следовательно, эффект изменения
сглаживающей способности алгоритма. Выходное значение медианного фильт-
ра, использующего взвешенную метрику, определяется как
(3)
Такой медианный фильтр назовем «медианный фильтр со взвешенной мет-
рикой» (МФВМ).
Оценка эффективности алгоритмов сглаживания выполнялась на модель-
ных изображениях путем анализа гистограмм, сравнения среднеквадратического
отклонения (СКО) отфильтрованного зашумленного изображения от «эталонно-
го»:
(4)
где СД - размеры изображения, - точки отфильтрованного изображения, Зс,
}
- точки эталонного изображения и коэффициента «гладкости», вычисленного по
формуле:
(5)
Коэффициент 0 изменяется от 0 (в каждой точке происходит изменение яркости
от минимального до максимального значений) до 1 - при полностью однородном
изображении.
СКО и коэффициент усреднялись по данным выборки из 50 случаев реа-
лизации воздействия шумовых искажений на модельное изображение.
Сравнение гистограмм, визуальный анализ результатов фильтрации, а также
анализ зависимости и СКО от параметра проведенные в работе, показы-
вают, что модифицированный фильтр обладает лучшей способностью удалять
шумы, чем обычный медианный фильтр. Например, на рис.1 и рис.2, показан
типичный вид зависимостей (рис. 1) и СКО (рис.2) от параметра На графи-
ках можно выделить три характерных участка: 1 — характеризует неустойчивый
режим функционирования алгоритма; 2- «оптимальные» значения параметра
сглаживания; 3- фильтр вырождается в обычный медианный. Как показывает
10

---

эксперимент, наилучшие результаты фильтрации достигаются при значениях па-
раметра из диапазона 2, близких к границе устойчивости алгоритма.
Выбор параметра
предлагается осуществлять на
основе метода L-кривой,
использующегося в литературе для
выбора параметра регуляризации при
решении плохообусловленных СЛАУ.
Для этого строится кривая, по
оси абсцисс откладывается величина
невязки: а
по оси ординат: исходное изображение, -результат фильтра-
ции изображения МФВМ), Типичная траектория такой кривой для шума модели
1 показана на рис.3. Точка максимальной кривизны кривой (участок 2) соответ-
ствует оценке оптимального параметра
Для улучшения фильтрующих свойств медианного фильтра в работе вво-
дится рекурсивный режим формирования апертуры фильтра:
(6)
r - глубина рекурсии, - значения исходного изображения, попавшие в аперту-
ру, - значения на выходе фильтра для предыдущих узлов. В качестве выход-
ного значения медианного фильтра с рекурсивным формированием значений
апертуры принимается значение t
k
, удовлетворяющее условию
11

---

Такой фильтр назовем «медианный фильтр с рекурсивным формировани-
ем апертуры» (МФРФА). Комбинированный фильтр, использующий взвешен-
ную метрику и рекурсивное формирование апертуры, назовем «МФВМ с рекур-
сивным формированием апертуры» (МФВМсРФА). Рекурсивность значительно
улучшает сглаживание шумов, но накладывает некоторые ограничения на пара-
метры настройки: глубина рекурсии большая 0.5 неизбежно приведет к искаже-
нию фронтов сигнала, а также возможна ситуация, когда сигнал в окне фильтра
станет корневым, не изменяющимся при повторной фильтрации.
Очевидно, что задача выбора размера окна, и глубины рекурсии не может
быть решена без привлечения априорных данных. Однако в отличие от линей-
ных алгоритмов, где необходима информация о спектральных характеристиках
шума, нелинейные алгоритмы опираются на априорные данные о полезном сиг-
нале. Например, размер окна фильтрации и вытекающая из него глубина рекур-
сии (не более 0.5) не должен превышать минимальный размер информативной
детали изображения.
МФВМ, МФРФА и МФВМсРФА обеспечивают эффективное сглаживание
сигналов в различных технических задачах. Например, есть класс задач, в кото-
рых разные обаасти обрабатываемого изображения должны быть сглажены в
различной степени в соответствии с введенной априори системой приоритетов.
В качестве примера такой задачи рассмотрим исходное изображение, приведен-
ное на рис.4. Области с индексом 1 должны быть сглажены максимально, а ис-
кажение областей с индексом 4 недопустимо.

---

ностью, разработанным в диссертации, построенным на базе взвешенного ре-
курсивного медианного фильтра с использованием подстройки апертуры. Ана-
лизируя результаты фильтрации, можно сделать вывод, что сглаживание деталей
изображения увеличивается при уменьшении информационной ценности. Так
области с номером 4 остались практически без изменений. При этом примене-
ние взвешенной метрики несет «двойную» нагрузку: «стабилизировать» работу
алгоритма на малых окнах фильтрации и а также, в дополнение к подстройке
апертуры, вносить дифференциацию в сглаживание областей с различной ин-
формационной ценностью, что позволило эффективно решить задачу подготов-
ки данных для алгоритма векторизации при обработке данных, полученных с
метеолокатора.
Кроме описанных выше процедур, в первой главе диссертационной рабо-
ты предложены еще два новых алгоритма, обладающих интересными свойства-
ми. Один из них основан на пространственном взвешивании окна фильтрации и
особенно эффективен в условиях действия импульсных шумов высокой интен-
сивности. Другой алгоритм использует информацию о корреляции изображения
на нескольких последовательных кадрах одного и того же объекта, что в некото-
рых случаях позволяет значительно повысить качество фильтрации.
Проведенный в конце первой главы сравнительный анализ эффективности
известных ранее (фильтр Винера, медианный, интервальный ФСС) и разрабо-
танных в диссертационной работе алгоритмов показывает, что в случае действия
импульсных шумов (модель 1) предпочтительнее применять нелинейную
фильтрацию (например, МФВМ). В случае распределенного аддитивного шума
невысокой интенсивности (модель 2) результаты применения как нелинейных,
так и линейных алгоритмов сравнимы. В случае аддитивного шума высокой ин-
тенсивности нелинейные алгоритмы теряют свои преимущества, приближаясь
по своим характеристикам к линейной фильтрации.
Алгоритмы фильтрации, а также рекомендации по их применению, разра-
ботанные в первой главе, позволяют не только качественно подготовить данные
для преобразования их в векторный формат, но и успешно решать различные
технические задачи, связанные с фильтрацией шумов изображений.
Все разработанные алгоритмы обобщены для обработки векторных полей.
Вторая глава диссертационной работы посвящена алгоритмам
преобразования изображений в векторный формат и их фильтрации.
13

---

Данные в векторном формате широко используется в современных геоин-
формационных системах, а также в различных пакетах САПР и ЧПУ. В настоя-
щее время наиболее популярны для решения этой задачи кусочно-линейная ин-
терполяция, кривые Безье, а также сплайны в параметрическом виде. В качестве
общего недостатка указанных алгоритмов можно отметить существенное ухуд-
шение их эффективности в случае наличия шумов в исходных данных. Не смот-
ря на широкое распространение систем, использующих векторный формат, во-
просам фильтрации шумов в векторных данных уделяется недостаточно внима-
ния.
Метод представления и хранения векторных графических данных, пред-
ложенный во второй главе, основан на представлении изолиний и фигур изо-
бражения сглаживающими сплайнами и позволяет эффективно осуществлять их
фильтраиию и сглаживание.
В начале главы проводится аналитический обзор публикаций, посвящен-
ных этой проблеме. Далее излагается авторский подход к непараметрической
аппроксимации изолиний и фигур изображения сглаживающими сплайнами.
Необходимость разработки такого подхода вызвана следующими факторами: на-
личие шумов в исходных данных вынуждает отказаться от условий интерполя-
ции и использовать сглаживающие сплайны, что в случае параметрического
предстаачения кривой затруднительно из-за необходимости решения противоре-
чивой задачи выбора параметров сглаживания для каждой из координат. Эту
проблему предлагается решить путем разбиения кривой на интервалы одно-
значности и аппроксимации их сглаживающими сплайнами.
Как показано автором, любую непрерывную кривую на плоскости можно
разбить на конечные интервалы, на которых свойство однозначности не наруша-
ется. В диссертационной работе предложены алгоритмы разбиения контура на
интервалы однозначности и гладкого сопряжения сглаживающих сплайнов на
двух соседних интервалах.
Основная проблема построения сглаживающих сплайнов заключается в
поиске оптимального параметра сглаживания. Неправильный выбор параметра
сглаживания (далее - параметр а) вызывает появление значительной системати-
ческой или случайной ошибки.
14

---

В работе рассматриваются два алгоритма выбора а: а) выбор на основе
метода L-кривой; б) новый,метод, основный на задании ширины аппаратной
функции сплайна.
L-кривой называют кривую, точки которой задаю!ся координатами
(7)
где - зашумленные исходные данные, - значение сглаживающего
сплайна в узлах х, - интервал построения сплайна.
Вид L-кривой может быть различным, но обязательно присутствуют два
участка (вертикальные или горизонтальные, характеризующие доминирующее
влияние методической или случайной погрешностей), между которыми нахо-
дится точка, в которой кривизна L-кривой максимальна. Значение а, при кото-
ром кривизна L-кривой максимальна, выбирается в качестве оценки для опти-
мального параметра сглаживания.
В другом алгоритме сглаживающий сплайн интерпретируется как
выходной сигнал некоторого фильтра (сплайн-фильтра), на вход которого посту-
пает дискретная последовательность, состоящая из измеренных значений функ-
ции.
Аппаратная» функция сплайна характеризует систематическую
ошибку сглаживания и дифференцирования: чем меньше "ширина" функции
тем меньше систематическая ошибка сглаживания. В качестве числовой
характеристики аппаратной функции принимается ее ширина
(8)
Физическая трактовка этой характеристики достаточно проста: в сглажи-
вающем сплайне сохранятся (с небольшим амплитудным искажением) состав-
ляющие функции , если их «ширина» больше ширины аппаратной функции
Введем вторую характеристику, которую можно интерпретировать
как коэффициент передачи дисперсии погрешности в дисперсию
случайной составляющей ошибки сглаживания:
15

---

(9)
Сформулируем задачу синтеза сглаживающего сплайна в виде следующей ва-
риационной задачи:
Решение этой вариационной задачи - единственный корень нелинейного урав-
нения
(10)
Вычислительный эксперимент, результаты которого приведены в конце второй
главы, показывает большую точность процедуры выбора а через точностные
характеристики сплайна в сравнении с методом L-кривой. Следует также отме-
тить, что для решения нелинейного уравнения (10) не требуется задание изме-
ренных значений у, что позволяет априори вычислять значение параметра а.
Результаты, полученные во второй главе, позволяют построить эффектив-
ный алгоритм представления изображений в векторном формате с помощью ап-
проксимации их изолиний и фигур сглаживающими сплайнами. Аппроксимация
изолиний и фигур с использованием сглаживающих кубических сплайнов тре-
бует небольших вычислительных затрат и при определении интервалов по-
строения сплайнов позволяет учитывать «особенности» различных фрагментов
изображения. Эта возможность весьма привлекательна при обработке изолиний
сложных изображений, в которых присутствуют фрагменты с большими и ма-
лыми значениями градиента.
Предложенный в диссертации выбор параметра сглаживания путем задания
размера структуры изолинии, которую необходимо сохранить в построенном
СКС, позволяет строить решения, опираясь на априорные данные, что в некото-
рых случаях значительно повышает точность восстановления и вносит в проце-
дуру выбора параметра сглаживания а содержательный физический смысл.
Таким образом, алгоритм; разработанный во второй главе, позволяет:
- осуществлять преобразование растрового изображения в векторный формат;
- эффективно хранить и отображать векторные данные;
- проводить фильтрацию и сглаживание векторных данных при наличии ми-
нимальной априорной информации.
16

---