Kombinatorikada qo'shish va ko'paytirish qoidalari

Ta'rif 1. dan turar joy n tomonidan elementlar m kombinatorikada har qanday deyiladi buyurtma qilingan to'plam dan m umumiy aholi orasidan tanlangan turli elementlar n elementlar.
4-misol Uchta elementning (1, 2, 3) ikkitadan ikkitadan iborat turli xil joylashuvi (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) to'plamlar bo'ladi. , 2). Joylashuvlar bir-biridan elementlarda ham, tartibida ham farq qilishi mumkin.
Kombinatorikadagi joylashtirishlar soni A n m bilan belgilanadi va quyidagi formula bilan hisoblanadi:
Izoh: n!=1*2*3*...*n (o‘qing: “en faktorial”), bundan tashqari, 0!=1 deb qabul qilinadi.
5-misol. O'nlik va birlik raqamlari turli va toq bo'lgan nechta ikki xonali sonlar mavjud?
Qaror: chunki beshta toq raqam mavjud, ya'ni 1, 3, 5, 7, 9, keyin bu vazifa beshdan ikkitasini tanlash va ikki xil joyga joylashtirishga qisqartiriladi. turli raqamlar, ya'ni. berilgan raqamlar quyidagicha bo'ladi:
Ta'rif 2. Kombinatsiya dan n tomonidan elementlar m kombinatorikada har qanday deyiladi tartibsiz to'plam dan m umumiy aholi orasidan tanlangan turli elementlar n elementlar.
6-misol. (1, 2, 3) to'plam uchun kombinatsiyalar (1, 2), (1, 3), (2, 3).
n ta elementning birikmalari soni m
Kombinatsiyalar soni C n m bilan belgilanadi va quyidagi formula bilan hisoblanadi:
7-misol O'quvchi mavjud oltita kitobdan ikkitasini nechta usulda tanlashi mumkin?
Qaror: Yo'llar soni ikkitadan oltita kitobning kombinatsiyasi soniga teng, ya'ni. teng:
n ta elementning almashtirilishi
Ta'rif 3. Permutatsiya dan n elementlar har qanday deyiladi buyurtma qilingan to'plam bu elementlar.
Misol 7a. Uch elementdan (1, 2, 3) tashkil topgan to‘plamning barcha mumkin bo‘lgan almashtirishlari: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).
n ta elementning turli almashtirishlar soni P n bilan belgilanadi va P n =n! formula bilan hisoblanadi.
8-misol Turli mualliflarning yettita kitobini javonda necha usulda ketma-ket joylashtirish mumkin?
Qaror: bu muammo ettita almashtirishlar soni haqida turli kitoblar. Kitoblarni tartibga solishning P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 usuli mavjud.
Munozara. Biz mumkin bo'lgan kombinatsiyalar sonini hisoblash mumkinligini ko'ramiz turli qoidalar(o'zgartirishlar, kombinatsiyalar, joylashtirishlar) va natija boshqacha bo'ladi, chunki hisoblash printsipi va formulalarning o'zi boshqacha. Ta'riflarga diqqat bilan qarasangiz, natija bir vaqtning o'zida bir nechta omillarga bog'liqligini ko'rishingiz mumkin.
Birinchidan, qancha elementlardan biz ularning to'plamlarini birlashtira olamiz (elementlarning umumiy populyatsiyasi qanchalik katta).
Ikkinchidan, natija bizga kerakli o'lchamdagi elementlar to'plamiga bog'liq.
Nihoyat, to'plamdagi elementlarning tartibi biz uchun ahamiyatli yoki yo'qligini bilish muhimdir. Oxirgi omilni quyidagi misol bilan tushuntiramiz.
9-misol Ustida ota-onalar yig'ilishi 20 kishi bor. Ota-onalar qo'mitasi tarkibiga 5 kishi kirishi kerak bo'lsa, uning tarkibi necha xil bo'lishi mumkin?
Qaror: Ushbu misolda bizni qo'mita ro'yxatidagi ismlarning tartibi qiziqtirmaydi. Agar natijada uning tarkibida bir xil odamlar paydo bo'lsa, biz uchun ma'no jihatidan bu bir xil variant. Shuning uchun raqamni hisoblash uchun formuladan foydalanishimiz mumkin kombinatsiyalar 20 ta elementdan 5 tasi.
Agar qo'mitaning har bir a'zosi dastlab ishning ma'lum bir sohasi uchun javobgar bo'lsa, hamma narsa boshqacha bo'ladi. Keyin, qo'mitaning bir xil ish haqi bilan, uning ichida 5 ta mumkin! variantlari almashtirishlar bu muhim. Turli xil variantlar soni (tarkibi va mas'uliyat sohasi bo'yicha) bu holda ularning soni bilan belgilanadi. joylashtirishlar 20 ta elementdan 5 tasi.