Kompleks o‘zgaruvchining funksiyasidan olingan integral

Qaralayotgan funksiya egri chiziqda uzluksiz. Binobarin, u(x,y) va v(x,y) funksiyalar ham da uzluksiz. Demak, bu funksiyalarning egri chiziq bo’yicha integrallari mavjud va …………
..
bo’ladi.
(3) da da limitga o’tib topamiz:
Bunda esa da yig’indi chekli limitga ega va

bo’lishi kelib chiqadi.
Natijada quyidagi teoremaga kelamiz.
Teorema 1: Agar f(z) funksiya egri chiziqda uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiyaning egri chiziq bo’yicha integrali mavjud va

bo’ladi.

Kompleks o’zgaruvchili funksiyaning integrali va uning xossalari
Integral ta’rifi. Kompleks sonlar tekisligi C da biror silliq (bo’lakli silliq) γ=AB egri chiziq olaylik.

γ=AB egri chiziqni A = z₀ ,z₁ ,… ,z_n= B nuqtalar yordamida n ta bo’laklarga ajratamiz .

lar (k=1,2,...,n) uzunliklari l_k larning (k=1,2,...,n) eng kattasini bilan belgilaymiz:

Aytaylik, γ egri chiziqda f(z) funksiya berilgan bo’lsin. Har bir γ_k da ixtiyoriy nuqta olib, so’ng f(z) funksiyaning shu nuqtadagi qiymatini ga ko’paytirib, ushbu

yig’indini tuzamiz. Bu yig’indi f(z) funksiyaning integral yig’indisi deyiladi.
Ravshanki, f(z) funksiyaning integral yig’indisi γ egri chiziqning bo’linishiga hamda har bir γ_k dan olingan nuqtalarga bog’lik bo’ladi.
Ta’rif 1. Agar da f(z) funksiyaning integral yig’indisi egri chiziqning bo’linishiga hamda bo’lakda nuqtaning tanlab olinishiga bog’lik bo’lmagan holda chekli limitga ega bo’lsa, bu limit f(z) funksiyaning egri chiziq bo’yicha integrali deb ataladi va

kabi belgilanadi. Demak
(1)