Kompyuterning qoʻllanilish

1-xulosa. x_i+1 tugundagi toʻr yechimni topish uchun tekislikning (x_i , y_i) nuqtasi orqali Koshining yordamchi masalasi (15)-(16) ning y⁽ⁱ⁾ yechimi grafigiga urinma oʻtkazish lozim va y_i+1 toʻr yechim sifatida bu urinmaning ordinata oʻqiga parallel va x_i+1 tugun orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini olish mumkin.

3. 
   izoh. Algoritmning birinchi qadamida, yaʼni x₀ tugun nuqtada beril- gan y₀ toʻr yechim boʻyicha x₁ tugun nuqtadagi y₁ toʻr yechim izlanadi, aslida urinma izlanayotgan y yechim grafigiga oʻtkaziladi (6-rasm). Algo- ritmning qolgan barcha qadamlarida urinmalar, aslida, (1) tenglamaning boshqa yechimlariga, yaʼni aynan oʻsha differensial tenglama uchun Koshi yordamchi masalasi (15)-(16) ning yechimiga oʻtkaziladi.
   
4. 
   izoh. Bu urinmalarni rasmda tasvirlasak, u holda izlanayotgan y yechim grafigiga yaqinlahuvchi siniq chiziqlar hosil boʻladi (6-rasm). Shuning uchun ham Eylerning oshkor usuli Eylerning siniq chiziqli oshkor usuli deb ham ataladi.
   
5. 
   izoh. Agar (6) tenglikda y(x_i) hosilani almashtirish uchun (7) toʻr boʻyicha yaqilashish oʻrniga boshqa ushbu
   

y(x_i  h)  y(x_i ) _

• 
  h
  

y(x_i )  y(x_i1 )
h

toʻr boʻycha yaqinlashishdan foydalansak, u holda toʻr yechimni izlash- ning avvalgisidan boshqa quyidagi tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz:

^yi ^{ y}i1 _
f (x , y ) , i = 1, 2, …, N (18)

_h i i
y₀ =  . (19)
(9)-(10) va (18)-(19) tenglamalar sistemasi orasidagi muhim farqlarni aniqlash uchun (18) sistemada indeksni bir birlikka siljitib, uni quyidagi ekvivalent shaklga keltiramiz:

h i1 i Endi bu sistemani (9) sistema bilan taqqoslaymiz. Koʻrinib turibdiki, nomaʼlum yi+1 (9) tenglamaning faqat chap tarafida chiziqi holda qatnashmoqda, bu esa uni oldingi tugundagi yi toʻr yechim orqali oshkor shaklda ifodalash imkonini beradi.

1 6-rasm.

^yi1 ^{ y}i
 f (x , y
) , i = 0, 2, …, N–1 (20)

(20) tenglamada esa nomaʼlum y_i+1 (9) tenglamada ikki marta qatnashmoqda: chap tarafida chiziqli va oʻnd tarafda f nochiziqli funksiya ostida nochiziqli. Shuning uchun bu tenglamada nomaʼlum y_i+1 ni oldingi tugundagi toʻr yechim orqali oshkor shaklda ifodalashning umuman im- koni yoʻq. Buning uchun esa algoritmning har bir qadamida oldingi tugundagi toʻr yechimdan foydalanib nochiziqli skalyar tenglamani no- maʼlum y_i+1 ga nisbatan biror usul yordamida yechish lozim boʻladi.

Bu uslub (1)-(2) Koshi masalasini taqribiy yechishning ushbu
y₀ =  , ^y_i ^{ y}_i1 ^{ h f (x}_i ^{, y}_i ⁾ , i = 1, 2, …, N (21)
algoritm shaklida yozilgan Eylerning oshkormas usuli deb ataladi.
Eyler oshkormas usulining geometrik talqinini beraylik.
Faraz qilaylik, y_i-1 va y_i – berilgan mos x_i-1 va x_i tugunlarda Eylerning oshkormas usuli yordamida topilgan toʻr yechimlar boʻlsin. Berilgan dif- ferensial tenglama yechimining x_i ,y_i nuqtadan oʻtuvchi grafigini (7-rasm), yaʼni quydagi Koshi masalasi yechimining grafigini qaraylik:
(y⁽ⁱ⁾)(x) = f(x, y⁽ⁱ⁾(x)), y⁽ⁱ⁾(x_i) = y_i .
Bu yechimning x = x_i nuqtasiga oʻtkazilgan urinma (x_i, y_i) nuqtadan oʻtuvchi va burchak koeffitsiyenti

k = (y^(^i^))(xi) = f(xi, y^(^i^)(xi)) = f(xi, yi). boʻlgan toʻgʻri chiziqdan iborat. (xi-1, yi-1) va (xi, yi) nuqtalarni tutashtiruvchi toʻgʻri chiziq aynan ana shunday toʻgʻri chiziqdir: bu toʻgʻri chiziq tuzilishiga koʻra (xi, yi) nuqtadan oʻtadi, uning burchak koeffitsiyenti esa 7-rasmdan va (21) formuladan koʻrinib turibdiki, aynan oʻsha miqdorga teng, yaʼni:

7-rasm.

_{k } ^yi ^{ y}i1
_ ( y_i1  h f (x_i , y_i ))  y_i1
 f (x , y ) _.

_{h h} i i

Bu dalil quyidagi xulosadan iborat i-chi qadamdagi Eyler oshkormas usu- lining geometrik interpretatsiyasini beradi.