Kompyuterning qoʻllanilish

Eyler oshkor usulining yaqinlashishi

Faraz qilaylik, y(x_i) – yuqoridagi (1)-(2) Koshi masalasining x_i tugundagi yechimi, y_i – Eylerning oshkor usuli bilan topilgan shu tugund- agi toʻr yechimi boʻlsin. Ushbu
_i = y(x_i) – y_i , i = 0, 1, …, N (26) miqdor toʻr yechimning x_i tugundagi xatoligi, ushbu
_i=y(x_i) – y_i , i = 0, 1, …, N (27) miqdor toʻr yechimning x_i tugundagi absolyut xatoligi deb ataladi.
Shunday savol tugʻiladi, toʻr qadami nolga intilganda (27) miqdorlar ham nolga intiladimi:

h0 da
max 

i
i0,1,...,N
^{ 0} , (28)

yani toʻr cheklanmagan holda maydalashtirilib borilsa bu miqdorlar nolga intiladimi?
Bu savolga javob berish uchun avvalo (1) tenglamaning oʻng tarafi- dagi f funksiyaga shunday qoʻshimcha shart qoʻyishimiz lozimki, bu tenglamaning bizga kerakli boʻlgan yechimi [x₀, x₀+L] kesmada mavjud, yagona va silliq boʻlsin. Aynan shunday deb oʻylaylikki, f funksiya x, y oʻgaruvchilar juftligi tekisligidan x₀  x  x₀+L tengsizlik bilan olingan kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida nafaqat uzluksiz, balki bu kenglikda chegaralangan boʻlishi ham lozim:
f(x,y)  M₁, barcha x  [x₀, x₀+L] va y  R lar uchun. (29) Bundan tashqari, oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizlik talabini qoʻyish bilan birga biz tenglamaning oʻng tarafidagi f funksiya hosilasining ham shu kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizligini talab qilib qoʻygan
boʻlamiz:
f_x(x,y)  M₂, barcha x  [x₀, x₀+L] va y  R lar uchun. (30)
f_y(x,y)  M₃, barcha x  [x₀, x₀+L] va y  R lar uchun. (31) (29)-(31) formulalardagi M₁, M₂, M₃ oʻzgarmaslar kenglikning barcha
nuqtalari uchun bir xil chekli haqiqiy sonlar.
Faraz qilaylik, y_i , y_i+1 – Eylerning oshkor usuli bilan x_i , x_i+1 tugun- larda topilgan toʻr yechimlar, y⁽ⁱ⁾ – (1) differensial tenglamaning grafigi (x_i
, y_i) nuqtadan oʻtuvchi yordamchi yechimlari (yaʼni (15)-(16) Koshi masa- lasining yechimlari) boʻlsin.
y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimning x_i+1 tugundagi y⁽ⁱ⁾(x_i+1) qiymati uchun toʻr yechimning ushbu
^i+1 ^{= y(x}i+1^{) – y}i+1
xatolik formulasidan foydalanib, xatolikni quyidagicha:

i+1 = (y(xi+1) – y^(^i^)(xi+1))+ +( y^(^i^)(xi+1) – yi+1), yaʼni uni ikkita qoʻshi- luvchilar yigʻindisi shaklida yoza olamiz:    (1)   ( 2) , (32)