Kompyuterning qoʻllanilish

1-lemma. (9) – (10) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega.
Isbot. (9) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

^yi1 ^{ y}i

• 
  h f (x_i , y_i )
  

, i = 0, 1, …, N–1. (11)

Berilgan f funksiyaning aniqlanish sohasi haqidagi farazga koʻra (11) tenglikning oʻng tarafi ixtiyoriy haqiqiy y_i lar uchun aniqlangan, shuning uchun bu tenglik oldingi x_i tugundagi toʻr yechimdan foydalaib x_i+1 tugundagi toʻr yechimni topish imkoniyatini beruvchi formula boʻlib hisoblanadi. (10) tenglikka koʻra x₀ tugundagi toʻr yechim maʼlum, (11) dan ketma-ket foydalanish orqali esa barcha nomaʼlum y₁, y₂, …, y_N larni biridan ikkinchisini bir qiymatli topib borish mumkin.

1. 
   izoh. Toʻr yechimlarni topishning yuqorida tavsiflangan ushbu
   

y₀ =  ,
^yi1 ^{ y}i

• 
  h f (x_i , y_i )
  

, i = 0, 1, …, N–1. (11)

algoritmi 1768 yilda shvetsariyalik matematik olim Leonard Eyler (1707- 1783) tomonidan taklif etilgan boʻlib, bu algoritm uning nomiga Eylerning oshkor usuli deb ataladi. Bu usulning «oshkor» deb atalishiga sabab (9) tenglamaning y_i+1 ga nisbatan yechilgan holda berilishidadir. Bu bilan (11) oshkor formula oldingi x_i tugundagi y_i toʻr yechimdan foydalanib x_i+1 tugundagi y_i+1 toʻr yechimni topish imkoniyatini berishi tushuniladi.
Endi (11) algoritmning geometrik talqinini beraylik. Buning uchun avvalo (1) differensial tenglamaning yechimlar toʻplami mavjudligini faraz qiliamiz, yaʼni berilgan [x₀ , x₀ + L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy ichki (x_*, y_*) nuqtasi orqali bu tenglamaning integral egri chizigʻi oʻtadi, boshqacha qilib aytganda, (x₀ , x₀ + L) ochiq intervaldan olingan ixtiyoriy x_* va ixtiyoriy haqiqiy y_* uchun ushbu
y(x_*) = y_* , y(x) = f(x, y(x))
Koshi masalasi yechiladi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasidan bizga maʼlumki, buning uchun kenglikning ixtiyoriy nuqtasida x, y oʻzgaruvchilar juftligi boʻyicha f funksiyaning uzluksizligini faraz qilish yetarli.

2. 
   izoh. Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usulining maʼnosi izlanayotgan y yechimning [x_i, x_i+1] intervaldagi grafigini xuddi shu differ- ensial tenglamaning unga yaqin boʻlgan biror yechimi grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagini anglatadi.
   

Agar y yechimning x_i tugundagi y(x_i) yechimi aniq boʻlganda edi, u holda bunday boʻlak sifatida y yechimga x_i nuqtada oʻtkazilgan urinma boʻlagini olish mumkin (4-rasm).

4-rasm. 5-rasm

Ammo biz y(x_i) miqdor oʻrniga uning y_i taqribiy qiymatini bilamiz, shuning uchun izlanayotgan y yechimning grafigiga (x_i, y(x_i)) nuqtadan boshqasi orqali urinma oʻtkazishga majburmiz, bu xuddi shu differensial tenglama y⁽ⁱ⁾ - yordamchi yechimi grafigining (x_i, y_i) nuqtasidan oʻtuvchi urinma (5-rasm).

Bu urinmaning oʻrdinata oʻqiga parallel va x_i+1 tugun orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasining ordinatasi (11) formula bilan hisoblangan y_i+1 miqdorga aynan teng ekanligini koʻrsataylik.
Aslida esa, faraz qilaylik, x – aytilgan urinmaning ixtiyoriy nuqtasi- ning absissasi, ỹ(x) – shu nuqtaning ordinatasi, _i – bu urinmaning x oʻq bilan tashkil qilgan burchagi boʻlsin (5-rasm). U holda
ỹ(x) = (tg_i)(x– x_i) + y_i , (13) bu tenglama burchak koeffitsiyenti k = tg_i va (x_i, y_i) nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi.
Maʼlumki, (13) toʻgʻri chiziq y⁽ⁱ⁾ funksiyaning grafigiga x = x_i nuqtada urinadi. Hosilaning geometrik talqinidan foydalanib, quyidagini yoza olamiz:
tg_i = (y⁽ⁱ⁾)(x_i), (14)
bu yerda y⁽ⁱ⁾ – quyidagi Koshi masalasining yechimi:
(y⁽ⁱ⁾)(x) = f(x, y⁽ⁱ⁾(x)), (15)
y⁽ⁱ⁾(x_i) = y_i . (16)
(14) uchun esa quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:
tg_i = f(x_i, y⁽ⁱ⁾(x_i)) = f(x_i, y_i).
Shularga koʻra (13) urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi:
ỹ(x) = f(x_i, y_i)(x–x_i) + y_i . (17) Bu urinmaning x_i+1 tugun orqali oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini topish uchun (17) tenglamada x = x_i+1 deb olish lozim. Bu oʻrniga qoʻyish natijasida quyidagi
miqdorga ega boʻlamiz:
ỹ(x_i+1) = f(x_i, y_i)(x_i+1–x_i) + y_i .
Bu miqdor (11) formula orqali
x_i+1–x_i = h
munosabatdan foydalanib topilgan y_i+1 miqdorga teng.