Конспект лекций для студентов 2 курса механико-математического

Уравнения высших порядков.

1. Уравнения высших порядков

или
f (x, y, y^′, .., yⁿ) = 0 (4.1)

y⁽ⁿ⁾ = F x, y, y^′, .., y⁽ⁿ⁻¹⁾ (4.2)

Определение 4.1. Решением уравнения называется функция y = φ(x), n раз дифференцируемая и обращающая уравнение в тождество.

^_y(x₀) = y
Определение 4.2 (Задача Коши). Найти решение уравнения, удовлетворяющее следующим усло- виям
0

^y^′(x₀) = y⁰
0

.
_. ¹ (4.3)
.

n−1

_
y(n−1)_{(x0) = y}0

0
Теорема 4.1 (Теорема существования и единственности решения задачи Коши). Пусть функ- ция F (x, y₀, · · · , y_n−1) непрерывна на множестве N = {(x, y₀, · · · , y_n−1) : |x − x₀| ≤ a, |y₀ − y⁰| ≤

_′ n−1
b, · · · , |y_n−1 − y⁰ | ≤ b}. Тогда решение задачи (4.2)-(4.3) существует в некоторой окрестности
U_ε(x₀). Если f y₀, · · · , fy_n−1 непрерывны в N (или выполняется более слабое условие), тогда F удо- влетворяет условию Липшица по y₀, · · · , y_n−1N, то решение задачи Коши (4.2)-(4.3) единственно

в U_ε(x₀), где ε = min(a, ^{b max(M}0^{,··· ,M}n−1⁾
), M_i = max_n |F_y^′_i |.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие понижение поряд- ка

Метод решения уравнений, допускающих понижение порядка, состоит в том, что в исходном уравнении делается такая замена z(x) или p(y), относительно которой получается уравнение более низкого порядка.
При нахождении частного решения y(x) исходного уравнения порядка n ≥ 2 с заданными началь- ными условиями y(x₀) = y₀, y^′(x₀) = y₁, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) = y_n−1, удобно константы интегрирования
c₁, c₂, . . . , c_n, возникающие в процессе нахождения сначала z(x) (или p(y)), затем y(x), определять при помощи начальных условий не из общего решения, а по мере их появления.
Укажем несколько наиболее распространенных случаев:

1. 
   В уравнение не входит искомая функция y, т.е. уравнение имеет вид
   

F (x, y^(k), y^(k+1), . . . , y⁽ⁿ⁾) = 0.
Тогда порядок уравнения можно понизить с помощью замены y^(k) = z(x).

2. 
   В уравнение не входит независимая переменная x, т.е. уравнение имеет вид
   

F (y, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾) = 0.
Тогда порядок уравнения понижается с помощью замены y^′ = p(y).

3. 
   Уравнение однородно относительно y и его производных, т.е.
   

F (x, ky, ky^′, ky^′′, . . . , ky⁽ⁿ⁾) = k^mF (x, y, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾).
Тогда порядок уравнения понижается подстановкой y^′ = yz, где z — новая неизвестная функ- ция.

4. 
   Уравнение однородно относительно x и y в обобщенном смысле, т.е.
   

F (kx, k^my, k^m−1y^′, k^m−2y^′′, . . . , k^m−ny⁽ⁿ⁾) = k^mF (x, y, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾).
Для этого уравнения делается замена x = e^t, y = ze^mt, где z = z(t) — новая неизвестная функция, а t — новая независимая переменная. Данная замена приводит к уравнению, не содержащему независимую переменную t. Порядок такого уравнения понижается одним из ранее рассмотренных способов.
Пример 4.1. Решить уравнение
xy^′′ = (y^′)².
Р е ш е н и е. Это уравнение не содержит y, поэтому порядок можно понизить заменой y^′ = z(x), y^′′ = z^′(x). Тогда исходное уравнение примет вид:
x²z^′ = z². (∗)

Разделив переменные, получим


dz dx x

1
z^{2 =} x^{2 , z =} 1 − c x^.
Подставим y^′ = x/(1 − c₁x) в уравнение (*) и получим решение

1

1
y = − _c
1

1
x − _c2 ln |1 − c₁x| + c₂.

При разделении переменных в уравнении (*) могли быть потеряны решения z = 0 и x = 0. Функция z = 0 является решением этого уравнения, а x = 0 — нет. Таким образом, исходное уравнение имеет решение y^′ = 0, то есть y = c.
О т в е т:

1

1
y = − _c
1

1
x − _c2 ln |1 − c₁x| + c₂, y = c.

Пример 4.2. Решить уравнение

2
y⁴ − y³y^′′ = 1 при условии y(0) = ^√2, y^′(0) = r ⁵ .
Р е ш е н и е. Пусть y^′ = p(y), y^′′ = ^dpy^′ = ^dpp. Тогда исходное уравнение примет вид:
dy dy
y⁴ − y³p^dp = 1, p(^√2) = r ⁵ ;
dy 2

p dp =

_y3 dy,

=
2

₂ + _2y2 + c₁, c₁ = 0.
^{∫ ∫} y⁴ − 1 p² y² 1



√
Итак,

√
Тогда
p² = y²
1
+ _y2 , p = ±
y⁴ + 1
.
y

dy
_dx = ±
y⁴ + 1
;
y
y dy

∫

∫
^√y⁴ + 1 ^{= ±}
dx;
ln (y²

1
2

+ ^√y⁴
+ 1) = ±x + c₂.

c₂ = ln (q2 + ^√5).

√
О т в е т: ln (y² + y⁴ + 1) = ±2x + ln (2 + ^√5).
Пример 4.3. Решить уравнение
2yy^′′ = y² + (y^′)².

Р е ш е н и е. Это уравнение является однородным относительно y и его производных, поэтому порядок уравнения может быть понижен подстановкой y^′ = yz, y^′′ = y(z² + z^′). Получим уравнение первого порядка 2y²(z^′ + z²) = y²(1 + z²), которое эквивалентно системе

y = 0,
2z^′ = 1 − z².
Второе уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим

1 − z

1 + ce^x

1 + ce^{x
1 + z} = ce^x, z = 1 − ² , то есть y^′ = y 1 − ² .
(∗)

Интегрируя последнее уравнение, получим

ln y = ln e^x − ln (c²e^2x) + ln (1 + ce^x) + ln c^∗, то есть y = c₁(1 ± ch (x + c₂)).

± ±

−
При разделении переменных могли быть потеряны решения 1 z² = 0. Проверим, являются ли функции z = 1 решениями. Получим уравнения y^′ = y, решения которых имеют вид y = ce^±x. Подставив эти функции в исходное уравнение, получим тождества, следовательно, они являются решениями. Решение y = 0 из системы (*) является частным случаем этих решений при c = 0.
О т в е т: y = c₁(1 ± ch (x + c₂)), y = ce^±x.

4. Линейные уравнения высших порядков.

   1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений высших по- рядков

Линейное неоднородное уравнение с произвольными коэффициентами порядка n имеет вид:
a₀(x)y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a_n−1(x)y^′ + a_n(x)y = f (x), (5.1)

 −
где a_j(x)(j = 0, . . . , n), f (x) — непрерывные на интервале (a, b) функции. Тогда для любого x₀ из интервала (a, b) и любых значений y₀, y₁, . . . y_n−1 существует единственное решение задачи Коши

_
a₀(x)y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a_{n 1}(x)y^′ + a_n(x)y = f (x), y(x₀) = y₀,
y^′(x₀) = y₁,

y
^{ · ·}(n^· −1)

(x₀) = y

n−1^.

Пусть L — линейный оператор, определяемый формулой
Ly = a₀(x)y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a_n−1(x)y^′ + a_n(x)y,
тогда уравнение (5.1) можно записать в виде
Ly = f (x). (5.2)
Будем также рассматривать однородное уравнение
Ly = 0. (5.3)

Свойства линейного оператора L.

1. 
   L(αy) = αLy, при любом α ∈ R (α ∈ C);
   
2. 
   L(y₁ + y₂) = Ly₁ + Ly₂ при любых y₁ и y₂, удовлетворяющих (5.3).