Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

2. Генеральная и выборочная совокупности.

Основная задача выборочного метода

Различают два вида наблюдений:
1) сплошное – изучаются все объекты (перепись населения страны);
2) выборочное – изучается часть объектов (социологическое исследование).
Определение 1. Генеральной совокупностью называется вся подлежащая изучению совокупность объектов.
Определение 2. Выборочной совокупностью (или выборкой) называется та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности объектов.
Числа объектов (наблюдений) в генеральной или выборочной совокупности называются их объемами.
Выборка должна быть отобрана случайно. Случайность достигается соблюдением принципа равной возможности всем элементам генеральной совокупности быть отобранными в выборку (жеребьевка; использование случайных чисел).
Виды выборок:

• 
  собственно-случайная выборка (образовывается случайным выбором элементов без расчленения на части и группы);
  
• 
  механическая выборка;
  
• 
  стратифицированная выборка;
  
• 
  серийная выборка.
  

Два способа образования выборок:

• 
  повторный отбор (случайно отобранный и обследованный элемент возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран);
  
• 
  бесповторный отбор (отобранный элемент не возвращается в общую совокупность).
  

Выборка называется репрезентативной, если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность.
Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой выборке судить о генеральной совокупности в целом (преимущества и недостатки выборочного метода).
Основной задачей выборочного метода является оценка параметров (характеристик) генеральной совокупности по данным выборки.
В дальнейшем используем обозначения:
x_i – значения признака;
N и n – объемы генеральной и выборочной совокупностей;
N_i и n_i – число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака x_i;
M и m – число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.
Выборочный метод широко применяется на практике. Однако значение этой темы значительно шире, поскольку концепция выборки лежит в основе методологии математической статистики. Соотношение между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей есть соотношение между опытными данными (результатами наблюдений) и теоретической моделью.
Чтобы по данным выборки можно было судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. Поэтому выборочные характеристики – выборочные средняя , доля w и дисперсия s² – величины случайные в отличие от их аналогов в генеральной совокупности , Р и ² – величин неслучайных.
Необходимо знать свойства выборочных оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность, уметь обосновать несмещенность и состоятельность выборочных средней и доли. При этом следует помнить, что основное требование, предъявляемое к выборочной оценке, заключается в том, чтобы ее рассеяние относительно оцениваемого параметра было минимальным. Для несмещенной оценки это требование означает ее эффективность. Но даже «наилучшая» оценка является лишь приближенным значением неизвестного параметра и, будучи величиной случайной, может существенно отличаться от самого параметра.