Конспект лекций Раздел элементы линейной алгебры для студентов дневной и заочной форм обучения

Разделим второе уравнение системы на . Это уравнение примет вид

где
Умножая полученное уравнение последовательно на и прибавляя полученные уравнения в том же порядке к третьему … -му уравнению системы, исключим переменную из всех уравнений системы, начиная с третьего.
Продолжая процесс последовательного исключения переменных после -го шага получим систему вида
(6.3)
Число нуль в последних уравнениях означает, что их левые части имеют вид . Если в полученной системе уравнений хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (6.1) несовместна.
Для любой совместной системы (6.1) числа в системе (6.3) равны нулю. В этом случае последние уравнений являются тождествами и их можно исключить при решении системы (6.3). После исключения из системы (6.3) последних уравнений возможны два случая: 1) число уравнений, оставшихся в системе (6.3), равно числу неизвестных, т.е. , тогда система (6.3) имеет треугольный вид и решение системы (6.1) единственное; 2) (тогда система (6.3) имеет ступенчатый вид и система (6.1) неопределенная, имеет бесчисленное множество решений).

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу системы

Разделим первую строку матрицы на 2.
ШАГ 1.

ШАГ 2.
_{Разделим вторую строку полученной матрицы} на

ШАГ 3.
Разделим третью строку на

_{Прямой ход на этом окончен.}
Последней матрице соответствует система уравнений:

Обратный ход: из третьего уравнения системы
из второго уравнения системы

из первого уравнения системы

Ответ:

Пример 2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы

Уравнение, соответствующее третьей строке полученной матрицы, представляет равенство . Следовательно, система несовместна.

Ответ: решений нет.

Замечания:

1. 
   Кроме решения СЛАУ методом Гаусса можно вычислять определители. После выполнения прямого хода определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
   
2. 
   Метод Гаусса помогает также находить обратную матрицу через присоединенную: к исходной матрице приписывается рядом единичная ; затем проводятся элементарные преобразования, приводящие матрицу к виду единичной, при этом единичная матрица приводится к обратной
   
3. 
   При решении СЛАУ методом Гаусса одновременно осуществляется исследование системы.