Конспект лекций Раздел элементы линейной алгебры для студентов дневной и заочной форм обучения

Матричный способ решения СЛАУ

Введенные нами операции над матрицами позволяют:

1. 
   предложить матричную форму записи СЛАУ.
   

Для этого матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений с неизвестными
, назовем основной матрицей системы.
Ее размерность .
Основная матрица системы, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы. Она имеет вид:
, ее размерность .
Обозначим матрицу – столбец, элементы которой – неизвестные системы, через (ее размерность ), а матрицу – столбец, элементы которой – свободные члены системы, (ее размерность ):

Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме:

2. 
   получить еще один способ решения СЛАУ для случая с невырожденной матрицей системы, который называется матричным способом. В случае существует обратная матрица . Запишем систему в матричной форме:
   

Умножим слева обе части равенства на . Получим:
.
На основании свойств произведения матриц и определения обратной матрицы преобразуем левую часть равенства:

где – матрица–столбец из неизвестных системы. Тогда решение системы уравнений имеет вид:
Пример. Решить систему уравнений матричным способом:

Запишем для данной системы уравнений матрицы :

Для нахождения обратной матрицы найдем основной определитель системы и алгебраические дополнения каждого элемента матрицы :

Составим матрицу из алгебраических дополнений

Транспонируем ее .
Найдем

Ответ: