Конспект лекций Раздел элементы линейной алгебры для студентов дневной и заочной форм обучения

Решение системы 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными



1.3.1 Понятие определителя 3-го порядка

Пусть мы имеем систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными :

.
Аналогично СЛАУ с двумя неизвестными, ее решение может быть найдено в ходе последовательного исключения неизвестных (в силу громоздкости вычислений мы их не приводим).
Для полученных выражений может быть введено понятие определителя 3-го порядка, для обозначения которого также используется символ а элементы записываются в 3 строки и 3 столбца:

Тогда, основной и вспомогательные определители системы будут иметь вид:

Считая _, находим по формулам Крамера
.
Заметим:
1) остается условием совместности и определенности СЛАУ, а показателем неопределенности либо несовместности системы в зависимости от значений
2) Все свойства определителей 2-го порядка относятся и к определителям 3-го порядка.
Например,
3) Аналогичные формулы имеют место для систем уравнений с большим числом неизвестных, следовательно, можно ввести понятие определителя произвольного ( -го) порядка.


1.3.2 Понятие определителя произвольного порядка

Аналогично определителям 2-го и 3-го порядка можно составить определитель -го порядка ( = 1, 2, 3, 4, 5…) и формально записать его в виде:

Анализируя формулы для вычисления, можно заметить, что определитель 2-го порядка состоит из 2-х слагаемых, каждое из которых содержит по 2 сомножителя, для определителя 3-го порядка эти цифры составляют 6 и 3 соответственно.
Рассуждая по индукции, получаем, что число сомножителей, входящих в каждое произведение, равно порядку определителя, а количество самих слагаемых равно !, при этом в каждом конкретном произведении сомножители взяты по одному из каждой строки и столбца, причем каждое произведение снабжено знаком «+» или «-» по некоторому правилу.
Для определителя произвольного порядка остаются верными свойства 1 - 8, выведенные нами для определителя 2-го порядка.
4) Получим из определения детерминанта 3-го порядка правила его вычисления.