Конспект лекций Раздел элементы линейной алгебры для студентов дневной и заочной форм обучения

1.2.2 Формулы Крамера решения СЛАУ

Приняв введенное нами понятие определителя 2-го порядка, замечаем, что числители в формулах для нахождения и также могут быть представлены в виде определителей 2-го порядка, которые мы назовем вспомогательными и обозначим и :

, .
Легко заметить, что вспомогательный определитель получается из основного определителя путем замены столбца коэффициентов при неизвестной столбцом правых частей. Аналогично составляется
Тогда формулы для нахождения решения исходной системы линейных уравнений принимают следующий вид:
Впервые в таком виде они были записаны Крамером в 1754 г., поэтому носят название формул Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Замечание: часто в случае СЛАУ небольших размеров неизвестные обозначают
При решении подобных систем могут быть следующие случаи.
1) . Тогда система совместна и имеет единственное решение.
Например,

Проверка:
2) Система совместна и имеет бесчисленное множество решений. Фактически система сводится к одному уравнению (второе – следствие первого), из которого неизвестные однозначно не определяются.
Например, Здесь

3) но или . Тогда система несовместна.
Например,

Система несовместна, т.е. не имеет решений.


1.2.3 Свойства определителя

Приведем основные свойства определителя 2-го порядка.

1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами. Эта операция называется транспонированием определителя и фактически означает симметрию относительно главной диагонали.

2) При перестановке двух соседних параллельных рядов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.

3) Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

4) Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

5) Если какие-либо два соседних ряда определителя пропорциональны, то он равен нулю.

6) Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю.

7) Если каждый элемент какого-то ряда представляет собой сумму двух (конечного числа) слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух (конечного числа) определителей.

8) Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.

2.