Конспект лекций Раздел элементы линейной алгебры для студентов дневной и заочной форм обучения

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Тема «Элементы линейной алгебры»

Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Решение СЛАУ размера 2x2.
Понятие определителя 2-го порядка.
Свойства определителя.
Формулы Крамера решения СЛАУ.
Решение СЛАУ размера 3x3.
Понятие определителя 3-го порядка.
Методы его вычисления (правило треугольника, правило Сарруса, правило Лапласа).
Понятие об определителе произвольного порядка.
Понятие матрицы.
Математические операции над матрицами.
Матричный способ решения СЛАУ.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).
Понятие ранга матрицы.
Исследование систем линейных алгебраических уравнений.

1. 
   ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
   

1.1 Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Изначально линейная алгебра рассматривала вопросы о решении линейных уравнений, т.е. таких, где левая часть составлялась из переменных в первой степени и к ним применялись линейные операции: умножение на постоянное число (константу); сложение. В качестве правых частей брались константы. В результате получались уравнения вида: (с одной неизвестной), (с двумя неизвестными). Эти уравнения имеют довольно простую геометрическую интерпретацию – оба задают прямые линии на плоскости.
Если неизвестных (переменных) в уравнении несколько, то для их обозначения удобно использовать индексы и обозначать: (читается «икс житое (йотое)), где определяется количеством переменных, например, при неизвестных .
Коэффициенты при неизвестных принято обозначать буквами с двойным индексом: (читается «а и житое»), где - номер уравнения, - номер переменной, перед которой стоит коэффициент. Константы, стоящие в правых частях уравнений, называются свободными членами системы и обозначаются .
Тогда, система линейных алгебраических уравнений с неизвестными (СЛАУ размера ) имеет следующий вид:
. (1.1)
Если среди свободных членов системы (1.1) есть отличные от нуля, то система уравнений называется неоднородной, в противном случае однородной:
. (1.2)
Совокупность чисел называется решением системы (1.1), если после замены неизвестных соответственно числами каждое уравнение системы (1.1) превращается в тождество (верное равенство).
Система уравнений, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.
Система уравнений, имеющая более одного решения, называется неопределенной.
Система уравнений, имеющая единственное решение, называется определенной.
«Решить систему» означает «найти решение или доказать, что его нет».
При решении любой СЛАУ нужно ответить на 3 вопроса (исследовать СЛАУ):

1. 
   совместна система или нет;
   
2. 
   если совместна, сколько решений она имеет (одно или множество);
   
3. 
   как найти все решения системы (указать методы решения СЛАУ).