Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdorlar. Ikki o`lchovli tekis va normal taqsimotlar

1. Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi.
Ikki o‘lchovlik tasodifiy miqdor uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi : 1. uzluksiz bo‘lsa;
2. har bir argumenti bo‘yicha differensiyallanuvchi;
3. ikkinchi tartibli aralash hosila mavjud bo‘lsa.
Ikki o‘lchovlik (X,Y) tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi

(1)

Tenglik orqali aniqlanadi.

(X,Y) tasodifiy miqdorning G sohaga(1-rasm) tushishi ehtimolligi oldingi mavzudagi (6) formulaga ko‘ra:
,



.
da limitga o‘tamiz,

,

ya’ni .

1-rasm.

Demak, (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy vektorning zichlik funksiyasi deb,

(2)

tenglikni qanoatlantiruvchi funksiya ekan.

4. Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va uning xossalari.

zichlik funkiyasi quyidagi xossalarga ega:
1. .
2. . (3)
3. . (4)
4. .
5. X va Ytasodifiy miqdorlarning bir o‘lchovlik zichlik funksiyalarini quyidagi tengliklar yordamida topish mumkin:
; . (5)

Isboti. 1. Bu xossa funksiyaning har qaysi argumenti bo‘yicha kamaymaydigan funksiya ekanligidan kelib chiqadi.

2. ifoda (X,Y) tasodifiy nuqtaning tomonlari dx va dy bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakka tushish ehtimolligini bildiragi. D sohani to‘g‘ri to‘rtburchaklarga ajratamiz(2-rasm) va har biri uchun (2) formulani qo‘llaymiz:

bo‘ladi. Endi da limitga o‘tib, ni hosil qilamiz.
2-rasm.

3. (3) formuladan:

4. va (4) formulada deb olsak(limit ma’nosida),

5. Avval X va Y tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalarini topamiz:


(5)

Birinchitengliknixbo‘yicha, ikkinchisiniybo‘yichadifferensiyallasak, XavYtasodifiymiqdorlarninzichlikfunksiyalarinihosilqilamiz:

va


Izoh. Agar X va Ytasodifiy miqdorlarning alohida zichlik funksiyalari berilgan bo‘lsa, (umumiy holda) ularning birgalikdagi zichlik funksiyalarini topish mumkin emas.

9.1-misol. (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning birgalidagi zichlik funksiyasi berilgan

Quyidagilarni toping: 1) O‘zgarmas son C; 2) ; 3) va ;

4) va ; 5) .
1) tenglikdan

2) , , ya’ni

3) , , demak

Aynan shunday,

4)

va shu kabi

5)