Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdorlar. Ikki o`lchovli tekis va normal taqsimotlar

1. Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi

X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz deiladi, agar uchun va hodisalar bog‘liqsiz bo‘lsa.
Endi tasodifiy miqdorlar bog‘liqsizligining zarur va yetarli shartini keltiramiz.

Teorema. X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun

(1)

tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zarurligi. Agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lsa, va hodisalar ham bog‘liqsiz bo‘ladi. U holda , ya’ni .
Yetarliligi. (1) tenglik o‘rinli bo‘lsin, u holda bo‘ladi. Bu tenglikdan X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsizligi kelib chiqadi.
1-natija. X va Y uzluksiz tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun

(2)

tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zarurligi. Agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lsa, u holda (1) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikni x bo‘yicha, keyin esa y bo‘yicha differensiyallab, tengliklarni, ya’ni hosil qilamiz.
Yetarliligi. (2) tenglik o‘rinli bo‘lsin. Bu tenglikni x bo‘yicha va y bo‘yicha integrallaymiz:

.

Bu esa tenglikning o‘zidir. Teoremaga ko‘ra X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsizligi kelib chiqadi.

2-natija. X va Y diskret tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun ihtiyoriy larda

(3)

tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir.

2. Shartli taqsimot qonunlari

(X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ni tashkil etuvchi X va Y t.m.lar bog‘liq bo‘lsa, ularning bog‘liqligini xarakterlovchi shartli taqsimot qonunlari tushunchalari keltiriladi.

(X,Y) ikki o‘lchovli diskret t.m. birgalikdagi taqsimot qonuni , bo‘lsin. U holda

, (4)

ehtimolliklarto‘plami, ya’ni larYt.m.ning dagishartlitaqsimotqonunideyiladi. Buyerda

.
Xuddishunday,
, (5)
ehtimolliklarto‘plami, ya’ni larXt.m.ning dagishartlitaqsimotqonunideyiladi.
1-misol. (X,Y) ikkio‘lchovlikt.m.nibirgalikdagitaqsimotjadvaliberilgan:
Quyidagilarni toping: a) X va Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlari; b) X t.m.ning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni.

X \ Y	1	2	3
0.1	0.12	0.08	0.40
0.2	0.16	0.10	0.14

a) va tengliklardan:

Y	1	2	3
P	0.28	0.10	0.54

X	0.1	0.2
P	0.60	0.40

,

b) (5) formulaga asosan: ,
. X t.m.ning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni quyidagiga teng:

X	0.1	0.2

Endi (X,Y) ikki o‘lchovli t.m. uzluksiz bo‘lgan holni ko‘ramiz. (X,Y) t.m.ning birgalikdagi zichlik funksiyasi, va lar esa X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari bo‘lsin.

Y t.m.ning X=x bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi

(6)

ifodaga orqali aniqlanadi.

Shartli zichlik funksiyasi zichlik funksiyasining kabi xossalariga egadir.
Xuddi shunday, X t.m.ning Y=y bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi

(7)
tenglik orqali aniqlanadi.
(6) va (7) tengliklarni hisobga olib, zichlik funksiyani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

. (8)

(8) tenglik zichlik funksiyalarning ko‘paytirish qoidasi(teoremasi) deyiladi.