Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyasi Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni

Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

(X,Y) tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari sifatida turli tartibdagi momentlar ko‘riladi. Amaliyotda eng ko‘p I va II – tartibli momentlar bilan ifodalanuvchi matematik kutilma, dispersiya va korrelatsion momentlardan foydalaniladi.

• 
  Ikki o‘lchovli diskret (X,Y) t.m.ning matematik kutilmasi (MX,MY) bo‘lib, bu yerda
  

(3.7.1)

va .

Agar (X,Y) t.m. uzluksiz bo‘lsa, u holda

. (3.7.2)

• 
  X va Y t.m.larning kovariatsiyasi
  

(3.7.3)

tenglik bilan aniqlanadi. Agar (X,Y) t.m. diskret bo‘lsa, uning kovariatsiyasi

, (3.7.4)

agar uzluksiz bo‘lsa,

(3.7.5)

formulalar orqali hisoblanadi.

Kovariatsiyani quyidagicha hisoblash ham mumkin:

. (3.7.6)

Bu tenglik (3.7.3) formula va matematik kutilmaning xossalaridan kelib chiqadi:

Kovariatsiya orqali X va Y t.m.larning dispersiyalarini aniqlash mumkin:
,
.
(X,Y) vektorning kovariatsiya matritsasi

- ifoda bilan aiqlanadi.

Kovariatsiyaning xossalari:

1. ;
2. Agar bo‘lsa, u holda ;
3. Agar X va Y ixtiyoriy t.m.lar bo‘lsa, u holda ;
4. yoki ;
5. yoki
;
6. .
Isboti. 1. (3.7.3) dan kelib chiqadi.
2. Agar bo‘lsa, u holda va lar ham bog‘liqsiz bo‘ladi va matematik kutilmaning xossasiga ko‘ra .
3.
.
4. .
5.

6. 3-xossani va t.m.larga qo‘llasak,




.

Dispersiya manfiy bo‘lmasligidan , ya’ni .■

3-xossaga ko‘ra, agar bo‘lsa, X va Y t.m.lar bo‘gliq bo‘ladi. Bu holda X va Y t.m.lar korrelatsiyalangan deyiladi. Lekin ekanligidan X va Y t.m.larning bog‘liqsizligi kelib chiqmaydi. Demak, X va Y t.m.larning bog‘liqsizligida ularning korrelatsiyalanmaganligi kelib chiqadi, teskarisi esa har doim ham o‘rinli emas.

• 
  X va Y t.m.larning korrelatsiya koeffitsienti
  

(3.7.7)

formula bilan aniqlanadi.

Korrelyatsiya koeffisiyentining xossalari:
1. , ya’ni ;
2. Agar bo‘lsa, u holda ;
3. Agar bo‘lsa, u holda X va Y t.m.lar chiziqli funksional bog‘liq bo‘ladi, teskarisi ham o‘rinli.
Shunday qilib, bogliqsiz t.m.lar uchun , chiziqli bog‘langan t.m.lar uchun , qolgan hollarda . Agar bo‘lsa, t.m.lar musbat korrelatsiyalangan va aksincha agar bo‘lsa, ular manfiy korrelyatsialangan deyiladi.