Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyasi Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni

Xarakteristik funksiyalar va uning xossalari

Taqsimot funksiya bilan bir qatorda u haqidagi hamma ma’lumotni o‘z ichiga oluvchi xarakteristik funksiyalardan ham foydalaniladi. Xarakteristik funksiya yordamida bog‘liqsiz t.m.larning yig‘indisining taqsimotini topish, sonli xarakteristikalarni hisoblash bir muncha osonlashadi.

• 
  X t.m.ning xarakteristik funksiyasi t.m.ning matematik kutilmasi bo‘lib, uni yoki orqali belgilaymiz. Shunday qilib, ta’rifga ko‘ra:
  

. (3.9.1)

Agar X t.m. qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiluvchi diskret t.m. bo‘lsa, u holda uning xarakteristik funksiyasi

(3.9.2)

formula orqali, agar zichlik funksiyasi bo‘lgan uzluksiz t.m. bo‘lsa, u holda uning xarakteristik funksiyasi

(3.9.3)

formula orqali aniqlanadi.

Xarakteristik funksiyaning xossalari:
1. Barcha uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
.
2. Agar bo‘lsa, bu yerda a va b o‘zgarmas sonlar, u holda
.
3. Agar X va Y t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lsa, u holda X+Y yig‘indining xarakteristik funksiyasi X va Y t.m.larning xarakteristik funksiyalari ko‘paytmasiga teng:
.
4. Agar X t.m.ning k-tartibli boshlang‘ich momenti mavjud bo‘lsa, u holda unga mos xarakteristik funksiyaning k-tartibli hosilasi mavjud bo‘lib, uning t=0 dagi qiymati
.
Isboti. 1. , chunki
. .
2. .
3. . Bu xossa n ta bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‘indisi uchun ham o‘rinlidir.
4. Hisoblashdan ko‘rinadiki, . Demak t=0 bo‘lsa, . ■
4-xossadan .

; ;
(3.9.4)
.

3.7-misol. Agar bo‘lsa, u holda X t.m.ning xarakteristik funksiyasi, matematik kutilmasi va dispersiyasini toping.

X t.m. 0,1,2,…,n qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiladi. (3.9.2) va Nyuton binomi formulalaridan foydalansak, , ya’ni X t.m.ning xarakteristik funksiyasi ifoda bilan aniqlanishiga ishonch hosil qilamiz. (3.9.4) formulaga ko‘ra: va shu kabi .
3.8-misol. Agar bo‘lsa, u holda X ning xarakteristik funksiyasi, matematik kutilmasi va dispersiyasini toping.

(3.9.3) formulaga asosan:

. Shunday qilib, agar bo‘lsa, u holda . Endi X t.m.ning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz. ,

.