Ko`phad diskriminant ta’rifi. Ko`phad diskriminantini hisoblash

Ko`phadning rezul`tanti.
Koeffisientlari Р maydondan olingan ikkita
f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1+.....+a_n-1x + a_n,
g(x) = b₀x^m + b₁x^m-1+.....+a_m-1x + a_m
ko`phadlar berilgan bo`lsin.Bu erda n > 0, m > 0, lekin a₀ = 0 yoki b₀ = 0 bo`lgan holler qaralmaydi.
Ta`rif. f va g ko`phadlarning Res (f,g) rezultanti deb ularning koeffisientlariga nisbatan bir jinsli va quyidagi ko`rinishga ega bo`lgan
( a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>,.....,a<sub>n-1</sub> , a<sub>n</sub> larga nisbatan m darajali, b<sub>0</sub>, ....,b<sub>m</sub> larga nisbatan n darajali ) ko`phadga aytiladi:

1. Res(f,g) = 0 faqar va faqat, agarda a₀ = 0 = b₀ yoki P[x] da f va g darajasi  1 bo`lgan umumiy ko`paytuvchiga ega bo`lsa.

2. f va g P[x] halqada to`la chiziqli ko`paytuvchilarga yoyilsin:
f(x) = a₀(x-₁)....(x-_n),
g(x) = b₀(x-₁)...(x-_m).
U holda

3.Har qanday f(x) ko`phad uchun

Formula o`rinli.
С maydonning algebraik yopiqligi.
Р –maydon va f- P ustidagi ixtiyoriy ko`phad bo`lsinMa`lumki, f bilan asosiativlanadigan f₁: PP, polinominal funksiyaning holati P maydonga bog`liq. Xususan, Im f<sub>1</sub> = P, deg f > 0 bo`lsa P ga quyidagi ta`rifni qo`llash mumkin.
Ta`rif. P maydon algebraic yopiq deyiladi, agarda P[x] halqadagi har bir ko`phad chiziqli ko`paytuvchilarga yoyilsa.
Boshqacha aytadigan bo`lsak, P maydon algebraic yopiq deyiladi, agarda P ustidagi keltirilmaydigan ko`phadlar faqat 1 darajali ko`phadlar bo`lsa.
Agar ixtiyoriy fP[x] ko`phad P da kamida bitta ildizga ega bo`lsa, u holda P maydon algebraic yopiq bo`ladi.
Haqiqatan ham, u holda f(x)= (x-a)h(x), aP, hP[x], lekin shartga ko`ra h ham P da kamida bitta ildizga ega, ya`ni h(x) = (x-b)r(x), bP,rP[x]. Bu prosesni davom ettirib, natijada f ko`phadni to`la chiziqli ko`paytuvchilarga yoyilmasiga kelamiz. Shunday qilib,
f- ixtiyoriy ko`phad ekanligidan P ning yopiqlik ta`rifini qanoatlantiradi.
Lemma. Haqiqiy koeffisientli toq darajali ko`phad kamida bitta haqiqiy ildizga ega.
1-teorema. Kompleks sonlar maydoni С algebraic yopiq.
Bu tasdiqni ildizlar tushunchasida quyidagicha ham ta`riflash mumkin:
Darajasi  1 bo`lgan ixtiyoriy kompleks ( yoki haqiqiy) koeffisientli f(x) ko`phad n ta kompleks ildizga ega, agarda ularni karraliklari bilan qo`shib hisoblasak.
Asosiy teorema isboti.
deg f = 2^m n₀
bo’lsin. Bunda n₀ –toq butun son.Agar m = 0 bo`lsa, u holda lemmaga ko`ra f hattoki haqiqiy ildizga ham ega. m bo`yicha induksiyani qo`llaymiz, faraz qilaylik haqiqiy koeffisientli barcha darajasi 2<sup>m`</sup>n`₀ ko`rinishda bo`lgan ko`phadlar uchun teorema isbotlangan bo`lsin.
Bunda m` m-1.
(x<sup>2</sup>+1) f(x) ko`phadning С maydonning qism maydoni sifatida o`z ichiga oluvchi F maydonni qaraymiz. u<sub>1</sub>,...,u<sub>n</sub> - f ko`phadning F maydondagi ildizlari bo`lsin. F ning quyidagi elementlarini qaraymiz:
v<sub>ij</sub> = u<sub>i</sub>u<sub>j</sub>+a(u<sub>i</sub>+u<sub>j</sub>), 1 i bunda а – biror fiksirlangan haqiqiy son. Aniqroq yozadigan bo`lsak, v_ij(a) deb yozish lozim edi, lekin biz belgilashni qiyinlashtirmaslik uchun shunday qoldiramiz. (1) ko`rinishdagi elementlar soni n`
, (3)
ga teng , bunda n`<sub>0</sub>- toq butun son.
f<sub>a</sub>(x) =
F[x] halqadagi ko`phad darajasi n` ga teng, uning ildizlari esa aniqlanishiga ko`ra (1) ko`rinishdagi barcha elementlar bo`ladi.Viet formulasiga ko`ra f<sub>a</sub>(x) ko`phadning b₁,....,b<sub>n`</sub> koeffisientlari ishora aniqligida v<sub>ij</sub> larning s<sub>k</sub> elementar simmetrik funksiyasi bo`ladi. s_k(v₁₂,v₁₃,...,v_n-1,_n) ifodada v_ij elemenlar o`rniga u<sub>1</sub>,...,u<sub>n</sub> lar orqali ifodasini qo`yib,
h_k(u₁,...,u_n) = s_k(...,u_iu_j+a(u_i+u_j),...), k=1,2,...,n`,
yana simmetrik funksiyani hosil qilamiz.Haqiqatan ham,ixtiyoriy S<sub>n</sub> (S<sub>n</sub> - n darajali simmetrik gruppa ) uchun
`v_ij = u_(i)u_(j)+a(u_(i)+u_(j) = v_{(i),(j)}
(yoki v_{(j),(i)}, agarda  (i) > (j) bo`lsa), shunday qilib  ` o`rniga qo`yishni (1) ko`rinishdagi elementlar to`plamida ifodalaydi. s_k(v₁₂,v₁₃,...,v_n-1,_n) simmetrik ekanligidan argumentlarini o`rinlarini almashtirsak u o`zgarmasdan qoladi, shu sababli
(h_k)(u₁,...,u_n)=s_k(`v<sub>12</sub>,`v₁₃,...,`v<sub>n-1,n</sub>)= s<sub>k</sub>(v<sub>12</sub>,v<sub>13</sub>,...,v<sub>n-1</sub>,<sub>n</sub>)=h<sub>k</sub>(u<sub>1</sub>,...,u<sub>n</sub>).
Ko`ramizki, h_k(u₁,...,u_n) qiymat faqat aR bog`liq bo`lgan h_k(x₁,...,x_n) haqiqiy koeffisientli smmetrik ko`phadda x<sub>i</sub> = u<sub>i</sub>, i =1,...,n, qiymat qo`ygandagi uning qiymatidir.
Simmetrik ko`phadlar haqidagi asosiy teoremaga ko`ra shunday g_k(y₁,...,y_n) ko`phad topiladiki, h<sub>k</sub>(x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>) = g<sub>k</sub>(s<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>),....,s<sub>n</sub>(x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>)) bo`ladi. Demak, (-1)^kb_k = h_k(u₁,...,u_n) = g_k(s₁(u₁,...,u_n),...,s_n(u₁,...,u_n)) =g_k(-a₁,...,(-1)ⁿa_n)R (a_i –koeffisientlar unitar fR[x] ko`phadning koeffisientlari )
Shunday qilib, f<sub>a</sub>(x) ko`phadning b_k koeffisientlari barcha aR da haqiqiy va deg f_a=n`=2<sup>m-1</sup>n`₀ , u holda induktiv farazimizga ko`ra f<sub>a</sub> kamida bitta kompleks ildizga ega, u biror v<sub>ij</sub> bilan ustma-ust tushishi lozim. Bizning ixtiyorimizda bo`lgan aR parametrni o`zgartirib, biz boshqa bir haqiqiy koeffisientli f<sub>a</sub>(x) ko`phad olamiz, lekin har biriga shunday i < j indekslar jufti mos keladiki(а ga bog`liq bo`lgan ), v_ij= u_iu_j+a(u_i+u_j)F element F maydonning С qism maydonida yotadi. Shunday qilib, har xil i < j indekslar jufti hammasi bo`lib C<sub>n</sub><sup>2</sup> ga teng, aR elementlar esa cheksiz ko`p, demak, shunday har xil ikkita haqiqiy a ,а` lar topiladiki ularga bitta indekslar jufti mos keladi, masalan aytaylik i =1, j =2 ( bu masala u<sub>1</sub>,...,u<sub>n</sub> ildizlarni nomerlash masalasi) uchun
u<sub>1</sub>u<sub>2</sub>+a(u<sub>1</sub>+u<sub>2</sub>)=c
u<sub>1</sub>u<sub>2</sub>+a`(u₁+u₂)=c` , a a`, (3)
kompleks sonlar boladi. (3) tenglamalar sistemasidan quyidagi munosabatni olamiz:

Bular C maydonda yotadi. u₁,u₂ elementlar quyidagi kompleks koeffisientli kvadratik ko`phadni ildizlari bo`ladi.

(x-u₁)(x-u₂)= x²-(u₁+u₂)x +u₁u₂
Ma`lum formulaga ko`ra

u₁,u₂ lar ham kompleks sonlar bo`ladi. Shunday qilib, qaralayotgan haqiqiy koeffisientli f(x) uchun shunday hattoki ikkita kompleks ildiz topiladi.

Endi
f(x) = a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x +a_n
n- darajali ixtiyoriy kompleks koeffisientli ( har doim a₀ = 1 deb olish mumkin, lekin bu ahamiyatli emas) bo`lsin.Barcha a<sub>i</sub> larni kompleks qo`shmalari bilan almashtirib
f^-(x) = a^-₀xⁿ+a^-₁x^n-1+...+a^-_n.
ko`phadni hosil qilamiz.
e(x) = f(x)f<sup>-</sup>(x)=e<sub>0</sub>x<sup>2n</sup>+e<sub>1</sub>x<sup>2n-1</sup>+...+e<sub>2n</sub>
2n - darajali
.
Koeffisientli ko`phadni qaraymiz. zz^- akslantirish С maydondagi 2 tartbli aftomorfizm bo`ladi, u holda e<sub>k</sub> = e<sup>-</sup><sub>k</sub> , bundan esa e<sub>k</sub>R kelib chiqadi. Isbot qilinganiga ko`ra haqiqiy koeffisientli e(x) ko`phad kamida bitta c ildizga ega:
f( c)f<sup>-</sup>(c ) = e (c ) = 0.
Bundan esa f ( c)=0 va teorema isbotlanadi, yoki f<sup>-</sup>( c) = 0 bo`ladi, ya`ni a<sup>-</sup><sub>0</sub>c<sup>n</sup>+a<sup>-</sup><sub>1</sub>c<sup>n-1</sup>+...+a<sup>-</sup><sub>n</sub> = 0. Bu tenglikni ikkala tomoniga qo`shmasiga o`tqazuvchi aftomorfizmni qo`llab, a^-₀c^{- n}+a^-₁c^{- n-1}+...+a^-_n=0 munosabatni hosil qilamiz,ya`ni f (c<sup>-</sup>) = 0 bo`ladi. Teorema isbotlandi.