KO’phadlarning haqiqiy ildizlarini aniqlash haqidagi teoremalar

KO’PHADLARNING HAQIQIY ILDIZLARINI ANIQLASH HAQIDAGI TEOREMALAR

	Kirish ………………………………………………….
1.	Ko'phad ildizi va unga doir teoremalar.................................
2.	Ko'phadning haqiqiy ildizlari.............................................
3.	Ko'phadning haqiqiy ildizlarini sonini topish........................................................................
4.	Shturm qatori va Shturm teoremasi.....................................
5.	Uchinchi va to'rtinchi darajali ko'phadlarning haqiqiy ildizlari.....................................................................…………
	Xulosa .........................................................................
	Foydanilgan adabiyotlar..............................................

Kirish

Bizga ma’lumki ko’phadlar nazariyasi algebra va sonlar nazariyasi fanining muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridan biri bo’lib hisoblanadi. Ayniqsa ko’phadlar nazariyasining simmetrik ko’phadlar bo’limi salohiyati va amaliy qo’llana bilishi jihatidan muhim kasb egallaydi. Bu bitiruv malakaviy ishda asosan ko’phadlar va uning tarkibiy qismi bo’lgan simmetrik ko’phadlar va simmetrik ko’phadlarning amaliy ahamiyati haqida fikr yuritilad.

Mavzuning dolzarbligi: Malumki , biz elementar matematika kursida va algebra va sonlar nazariyasi fanini o’rganganda chiziqli algebraik tenglamadan to to’rtinchi darajali algebraik tenglama va tenglamalar sistemasini yechishni qarab chiqqan edik. Ammo yuqori darajali tenglamalar yoki tenglamalar sistemasini yechish esa ancha qiyinchiliklar tug’dirishini ham bilamiz. Bu haqda hatto buyuk Norvegiyalik matematik Nils Abels o’zining quyidagi qimmatli fikrini bayon qilgan edi, ya’ni “ beshinchi va undan yuqori darajali tenglamalarni cheksiz sondagi amallar : qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish va ildizdan chiqarish yordamida yechish formulasi mavjud emas “. Bu bitiruv malakaviy ishda asosan yuqori darajali tenglamalar sistemasini yechishda tenglamalar darajalarini simmetrik ko’phadlar, simmetrik funksiyalar yordamida pasaytirib yechish ishning asosiy dolzarb vazifasi qilib belgilangan.

Mavzuning maqsadi va vazifalari: Yozilgan bu bitiruv malakaviy ishning asosiy maqsadi bir noma’lumli va ko’p noma’lumli ko’phadlarni har tomonlama chuqurroq o’rganish, hamda ko’p noma’lumli ko’phadlarning bir turi bo’lgan simmetrik ko’phadlar va ularning simmetrik funksiyalari yordamida asosan yuqori darajali tenglamalar sistemasini yechishda qo’llash, ya’ni sistemadagi tenglamalar darajalarini pasaytirish asosida sistemani yechishni o’z oldiga maqsad qilib qo’ygan. Umuman olganda simmetrik ko’phadlarning elementar matematikadagi tadbiqlarini o’rganishni o’z oldiga vazifa va maqsad qilib qo’ygan.

Bitiruv kurs ishining ilmiyligi va amaliy ahamiyati :

Ushbu kurs ishning mavzusiga oid barcha adabiyotlarni to’plash va shu vaqtgacha to’plangan bilimlar asosida ko’phadlar nazariyasi, ayniqsa simmetrik ko’phadlar hamda ularning elementar matematikadagi tadbiqlarini yanada mukammalroq o’rganish katta ahamiyatga ega bo’lib, bu esa kelajakda ko’phadlar va ularning tadbiqlarini ilmiy nuqtai nazardan yanada atroflicha o’rganishda va tasavvur hosil qilishda katta ahamiyatga ega bo’ladi deb o’ylayman.

Fan va texnikada uchraydigan ko'pgina masalalar oxir- oqibatda ko'phadning ildizlarini va haqiqiy ildizlar sonini hamda ularni joylashish oraliqlarini topishga keladi. Shu sababli ham ko'phadning haqiqiy izlari sonini aniqlash va ular joylashgan oraliqlarni topish oily algebraning muhim masalalaridan birini tashkil etadi.

1.Reja; Ko'phad ildizi va unga doir teoremalar

Ma'lumki n -darajali (n -butun musbat son) tenglamani umumiy ko’rinishi

ko'rinishdan iborat.

Bu tenglamaning a₀, aa„ koeffisentlari umimiy holda ixtiyoriy kompleks sonlar, shu bilan birga a₀ ф 0 deb olamiz , aks holda yuqoridagi tenglama n - darajali tenglama bo’lmay qoladi.

Ravshanki,agar tenglama berilgan bo’lsa , u holda doimo uni yechish talab etiladi.Boshqacha aytganda x noma’lumning shunday son qiymatlarini topish talab etiladiki , ular bu tenglikni ayniyatga aylantirsin , ya’ni ularni noma’lumlar o’rniga qo’yganda uni ayniyatga aylantirsin.

Biroq yuqoridagi tenglamani yechish masalasini bu tenglamaning chap tomoni turgan


(1)

ifodani o'rganishning umumiy masalasi bilan almashtirish mumkin.

Ushbu (1) ifoda x noma’lumning n -darajali ko’phadi (yoki polinomi) deyiladi. Ko’phadlarni qisqacha yozish uchun f (x), g(x), h(x),
va hokazo simvollardan foydalanamiz.

Agar f (x) va g(x) ko’phadlarda noma’lumlarning bir xil darajalari oldidagi koeffitsentlar teng bo’lsa , bu ko’phadlar teng bo’ladi.

n -darajali (1) ko’phadga o’zining a₀,a,•••,a (bu yerda a₀ ф 0) koeffitsentlari bilan to’la aniqlanadigan biror formal ifoda deb ham qarash mumkin.Ko’phadning (1) ko’rinishdagi , ya’ni x noma’lumning darajalarini kamayib borish tartibi ko’rinishidagi yozuvidan tashqari yana noma’lumning o’sib boruvchi darajalari bo’yicha yozuvi

ham qo'llaniladi.

Ravshanki , (1) ko’phadga matematik analiz fani nuqtai nazaridan ham qarash mumkin , ya’ni uni kompleks o’zgaruvchi x ning kompleks funksiyasi deb ham qarash mumkin. Kompleks koeffitsentli f (x) va g (x)

ko’phadlar berilgan bo’lib , ular qulaylik uchun x ning o’sib boruvchi darajalari bo’yicha yozilgan bo’lsin:

va masalan , bo’lsin , u holda ularning yig’indisi deb

ko'rinishdagi ko’phadga aytiladi. Bu ko’phadning koeffitsentlari f (x) va g(x) ko’phadlarning noma’lumning bir xil darajalari oldida turgan koeffitsentlarining yig’indisiga teng , ya’ni