Koshi masalasining ko’p qadamli ayirmali metodlar



sm
s ^εs

i0
i nmis

jm
nm j j j

Qarayotgan D sohaning aniqlanishiga ko’ra
l_s  L
tengsizlik bajariladi, bundan

m
tashqari, ma’lumki
Г ^m  1.

Demak,_n
oldidagi koeffisentni pastdan quyidagicha baholash mumkin:
1  hb₀l_n 1  hL b₀ .

Shuning uchun ham h yetarlicha kichik

 _{h  1} 

bo’lganda

 oldidagi




 _{L b0} 

n
koeffisentni doim musbat qilish mumkin, bu esa (1.63) tenglikni quyidagicha yozishga imkon beradi:

_m1 _
^s
^min^m,ns
^m ^{ }

  ^{1
 Г}n
 ^s0 _

• 
  hl_s
  


ims
^Гnmis ^s ^


^ (1.64)

_n  

1  hb₀l_{n }
n1
^min^m,ns
^m
n1
^m ^

_h_l_s_s
^{ b}s ^Гnmi ^{  Г}nm j ^hrj
 _{ }

_ sm i0 j0 _
Oxirgi tenglik x_n nuqtadagi taqribiy yechimning _n xatoligi (1.52) hisoblash

formulasini parametrlari
ε₀ , ε₁,...,ε_m1
dastlabki xatoliklar, hisoblashning hamma

pog’onalaridagi formulaning xatoligi, yaxlitlash xatoligi hamda x_m , x_m1..., x_n1
nuqtalardagi taqribiy yechimning xatoliklari oqrali ifodalanadi. Bizni n da _n
xatolikning raftori qiziqtiradi. (1.64) formulaga ko’ra _n xatoning raftori xususiy

hlda
Г ^i _i  0,1,..., m 1_
yoki bunga teng kuchli bo’lgan

n

i i
^nn ^{j  0,1,...,k
1;i 1,2,...,q}
funksiyalarning raftoriga bog’liqdir. Oldingi

bandda (1.52) formulaning foeffisentlari
m

A_1_  1  _a_j  0
j1
Shartni qanoatlantirishini ko’rgan edik, bu esa (1.60) tenglama doimo

 1

yechimga ega ekanligini ko’rsatadi. Shuning uchun ham eng qulay holdan n da

n
^{Г i} ^{i  0,1,..., m 1} ^{funksiyalar moduli bo’yicha chegaralangan bo’lishiga umid} qilish mumkin.
^{Agar A}^  ^{ 0 xarakteristik tenglamaning barcha , ,2 ,...,q ildizlari moduli}
bilan birdan oshmasa va moduli birga teng bo’lganlari karrali bo’lmasa, u holda
ildizlar sharti bajarilgan deymiz.
^{Ko’rinib turibdiki, nn j}  ^{j  0,1,...,k 1;i 1,2,...q} ^funksiyalar
i i
chegralangan bo’lishi uchun ildizlar shartining bajarilishi zarur va yetarlidir.

2. 
   ta’rif. Agar ildizlar sharti bajarilsa, u holda (1.52) hisoblash metodlari turg’un deyiladi. Biz turg’unlikning ikki xil ta’rifini keltirdik, bu ta’riflarning teng kuchliligini qralayotgan masalalarning xususiy holi bo’lgan aniqmas integrallarni taqribiy hisoblash qoidasi uchun ko’rsatgan edik.
   

Biz bu yerda 2-ta’rifdan 1-ta’rifning kelib chiqishini, ya’ni ildizlar sharti bajarilganda (1.52) formula yordamida topilgan taqribiy yechim n da (1.1) tenglamaning yechimiga tekis yaqinlashishini ko’rsatamiz.
Aytaylik, ildizlar sharti bajarilsin, u holda

Г
ⁱ
n
^ max
0im1
0nN
ⁱ

Г
n
^{ Г} ^h ^{ Г}
(1.65)

bo’lib, shu bilan birga
h  0 da Г noldan farqli chekli limitga intiladi.

Faraz qilaylik, _{i }i  0,1,...,m 1_, r_j
bo’lsin:
va  _j lar uchun quyidagi baholar o’rinli

_n   _i  0, m 1_; r_j


 r;  _j  ; j  m, N.

Bu baholarni va (1.65)ni hisobga olib, (4.64)dan quyidagi bahoga ega bo’lamiz:
n1

bunda
_n  P  hQ_ _s
sm
^{ T} ^{n  m}^{hr  } ^,
(1.66)

m m

P  mГ
1  hL_ b_i
j1 _,
1  hL b₀
ГL_ b_{i
Q } j1 _,
T  ^Г .

Ko’rinib turibdiki,
n  0 da
P,Q va T miqdorlar chekli limitlarga intiladi.

Endi
n  m 
^{X  x0} ligini hisobga olib va ushbu
h

P  a,
^{ha  b,T} ^{hr  }  ^X

• 
  x_{0  c} h
  

belgilashlarni kiritib, (1.66) tengsizlikni quyidagicha yozib olamiz:
n1

_n  a  b_  _s
sm

• 
  c,
  

bunda
m  n  N. Bu formuladan ketma-ket quyidagilarga ega bo’lamiz:

_m  a  c,

^m1
 a  b _m
 c  a  c  b_a  c_  _a  c_1  b_,

^m2
 a  c  b_ _m
  _  _a  c_1  b_2 ,

m1
^m3
 _a  c_1  b_3

..............................................................................

_n
Barcha n larda _n
Demak,
^ ^{a  c}^{1  b}nm ^.
ni baholash uchun yuqoridagi bahoni ko’proq qilib olamiz:

max

mnN
^n
^ ^{a  c}^eQxx0 ^{ .}

Shunday qilib, taqribiy yechimning xatoligi bo’lamiz:
_n uchun quyidagi tekis bahoga ega

^{   P   r   T}  ^{X  x}



_^ _e^Q ^{X x0}  _.
(1.67)

^{max n} 
 _h  0 _

mnN
_   _

Yuqorida ko’rdikki, ildizlar sharti bajarilsa,
h  0 da
P,Q va T chekli


limitga intildai. Shuning uchun ham (1.67)dan ko’ramizki, taqribiy yechim aniq yechimga tekis intilishi uchun

 _0,
h0
r_0,
 0
 ₀
^h  0

shartlar bajarilishi kerak.
Yuqoridagi (1.67) baho qo’pol, amaliyotda tatbiqi ham, chunki uning
tarkibidagi P,Q,T miqdorlarni effektiv ravishda baholash qiyin. Ammo bu
bahoning yaxshilik tomoni shundan uboratki, uning yordamida hisoblash jarayonining yaqinlashish shartlarini aniqlash va yaqinlashish tezligini sifat jihatidan baholash mumkin. Xususiy holda bu baho shuni ko’rsatadiki, yechim izlanayotgan

oraliqning uzunligi
X  x₀
ortishi bilan taqribiy yechimning xatosi tez o’sadi.

Bundan tashqari, (1.67) baho shuni ko’rsatadiki, (1.52) formulaning xatoligi uch qismdan iborat, Xatolikning birinchi qismi dastlabki ma’lumotlarning xatoligi bilan
bog’liq bo’lib, h  0 da  ning raftoriga bog’liq. Odatda, jadvalning bosh qismini
ko’rishda qo’llaniladigan algoritm shunday tanlanadiki, h kichiklashganda 
kichiklashadi. Xatoning ikkinchi qismi dastlabki differensial tenglamani ayirmali
tenglama bilan almashtirishga bog’liq, u h  0 da kamayadi, chunki p -tartibli

approksimasiyaga ega bo’lgan ayirmali sxemalar uchun
r  0_h^p _.

Nihoyat, xatolikning uchinchi qismi (1.52) formula yordamida hisoblash

xatoligiga bog’liq bo’lib,
h  0 da
^ ning raftoriga bog’liq. Agar hisoblash
h

formulasi tanlangan bo’la, r_n
va r larning h ga bog’liqligi qonuni aniq bo’ladi.

Bizning ixtiyorimizda
h,_ larni tanlash qoladi. Ularni optimal ravishda tanlash

uchun ayrim mulohazalarni aytish mumkin.
Faraz qilaylik, hozircha  belgilangan bo’lsin. Biz h ni kichraytirib,
xatolikning birinchi va ikkinchi qismini kamaytirish hisobidan umumiy xatoni kamaytiramiz. Lekin bu uzoqqa bormaydi, ma’lum paytdan boshlab xato yana o’sib

boradi, chunki h ni kichraytirgan sari
^ ning miqdori oshib boradi. Shuning uchun
h

ham h ning shunday optimal qiymatini topish mumkinki, bu qiymatda (1.67)ning o’ng tomoni eng kichik bo’ladi. Qo’pol qilib aytganda, bu optimal qiymat shunga olib keladiki, xatolikning uchala qismi bir-biriga teng bo’lishi kerak, Agar biz
(1.67)ning o’ng tomonini yana ham kamaytirmoqchi bo’lsak, u holda hisoblash
aniqligi  ni oshirishimiz kerak   0_h^m _ va   0_h^m _ bo’lsa, u holda (1.67)

bahoga ko’ra hisoblash jarayoni yaqinlashadi.
h^m tartibdagi tezlikda aniq yechimga tekis

Shuni yana bir bor ta’kidlash kerakki, (1.67) baho yaqinlashishini ta’minlash uchun (1.52) ayirmali metod uchun turg’ulik shartlari bajarilishi kerak. Agar bu
shartlar buzilsa, u holda h  0 da (1.67) tengsizlikning o’ng tomoni darajali yoki
ko’rsatkich funksiyadek cheksiz o’sib boradi.
Ko’pincha turg’un hisoblash metodlari orasida qat’iy turg’un metodlari

ajratiladi. Bunday metodlar uchun yana bir qo’shimcha talab qo’yiladi:
  1

aylanada faqat bitta
 1 ildiz yotishi kerak. Tadqiqotlar shuni ko’rsatadiki, qat’iy

turg’un jarayonlarning yaqinlashishi raftori ancha yaxshi bo’ladi.

Yuqorida ko’rilgan Adamsning barcha metodlari qat’iy turg’undir, chunki
A_ _  ^m1  ^m  0 xarakteristik tenglama biriga teng bo’lgan bitta tub ildizga va
nolga teng bo’lgan m -karrali ildizga ega.
Ayirmali metodlarni hosil qilish uchun boshqacha yondashish ham mumkin. Misol uchun ushbu

^u  ^xn  ^{ u}  ^xn2  ^
x_n