Koshi masalasining ko’p qadamli ayirmali metodlar



^xn2
u^_ x_dx  u _ x_{n2 } 
x_n



^xn2
f _ x,u _dx

tenglikni ko’raylik. Bundagi integralni taqribiy ravishda Simpson kvadratura formulasi bilan almashtirsak,

y  y

• 
  ^h  ^f
  

• 
  4 f
  

^{ f} 
(1.68)

n n2
₃ n2
n1 n

hisoblash qoidasiga ega bo’lamiz. Biz bilamizki, bu metodning (Simpson kvadretur formulasining) qoldiq hadi quyidagiga teng:

r_n  
h _u

5
90
^ ^{, xn2    xn .}

Bu metod uchun xarakteristik tenglama
A_ _  ² 1  0
bo’lib, uning

ildizlari
₁  1,₂ 1.
Shuning uchun ham (1.68) metod turg’un, ammo qat’iy

turg’un emas.
Ushbu Eyler metodi

esa qat’iy turg’undir.

^y n ^{ y}n1 ^{ hf}n1

Biz aniqmas integrallarni taqribiy hisoblash uchun
^{yn1  4yn  5yn1  2h} ^fn1  ^{ 2 fn}
metodni ko’rgan edik. Bu metod uchun xarakteristik tenglama
^A^  ^{ 2  4  5  0 bo’lib, uning ildizlari   5 va   1 esa ildizlar shrtini}
1 2
qanoatlantirmaydi. Shuning uchun ham bu metod turg’un emas va hisoblash uchun yaramaydi.
Turg’un va qat’iy turg’un taqribiy metodlarning farqini yaxshi tushunish uchun bir misol ko’ramiz. Osonlik bilan ko’rish mumkinki,

tenglamaning aniq yechimi

u^  2u  1, u _0_ 1
(1.69)

u _ x_  0,5e^2x  0,5
(1.70)

bo’lib, bu yechim dastlabki shartga nisbatan turg’undir, ya’ni dastlabki qiymatning kichik miqdorda o’zgarishi x da yechimning kichik miqdorda o’zgarishiga olib
^{keladi. Haqiqatan, ham dastlabki shartni u} ⁰ ^{1   ga almashtirsak, u holda} yechim
u _ x_  _0,5   _e^2x  0,5
ko’rinishga ega bo’lib, faqat e^2x ga o’zgaradi.
Endi (1.1) differensial masalaga (1.68) impson formulasini qo’llaymiz, u
holda

y  y  ^h 0  2 y

 8y  2 y  6, y  1

yoki
n n2 ₃

n2
n1  0

y   ^8h y

_ 3  2h _y

• 
  2h
  

, y  1
(1.71)

ⁿ 3  2h
n1
3  2h
n2

3  2h ⁰

formula hosil bo’ladi. Bu yerda
y₀ sifatida dastlabki shartni olamiz. Ammo (1.71)

metod ikki qadamli bo’lganligi sababli hisobni boshlash uchun
y₁ ning qiymatini

berish kerak. olamiz, ya’ni
y₁ ning qiymati sifatida (1.70) aniq yechimning x  h dagi qiymatini

1
y  0,5e^2h  0,5.
(1.72)

Biz (1.71) va (1.72)larni birlashtirib, ushbu

y_n 
8h 3  2h
^yn1
_ 3  2h _y
3  2h


n2
_ 2h _, 3  2h


(1.73)

y  1, y  0,5e^2h  0,5
0 1
ayirmali masala yechimining raftorini tekshiramiz. Bu masalaga mos keladigan xarakteristik tenglama

ning yechimlari
² 
8h 3  2h
_{ } 3  2h _{ 0} 3  2h
(1.74)

_{ } 4h  9  2h² _{  } 4h  9  2h^2
1 3  2h ^{, 2} 3  2h ^.
dan iborat. Bundan ko’ramizki, (1.73)ga mos keladigan

y   ^8h y

_ 3  2h _y

ⁿ 3  2h
n1
3  2h
n2

bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi

1 1 2 2

n
y  c ⁿ  c ⁿ
bo’lib, osonlik bilan ko’rish mumkinki, (1.73) ayirmali tenglamaning xususiy

yechimi y  ¹

bo’ladi. Shuning uchun ham (1.73) ayirmali tenglamaning umumiy

n ₆
yechimi
y  c ⁿ  c ⁿ  ¹

n 1 1 2 2 ₆

bo’ladi. Noma’lum foydalanamiz:
c₁ va c₂
koeffisentlarni topish uchun dstlabki shartlardan

c  c  ¹  1,c 

 c 
 ¹  ¹ e^2h  ¹ .

1 2 ₆
Bu tenglamalarni yechib,
1 1 2 2
6 2 2

c  ⁵ 
¹ 12
c  ⁵ 
² 12
20h  _3  2h_2  3e^2h _
.
12 9  2h²
20h  _3  2h_2  3e^2h _
.

larni hosil qilamiz. Shunday qilib, (1.73) ayirmali masalaning yechimi
n n


^ 4h  9  2h^{2  } 4h  9  2h^{2 } 1

y_n  c_{1 }
3  2h
_  c_{2 }


3  2h ^ 6
(1.75)

bo’ladi.
   

Yechimning bu ko’rinishidan uning n dagi raftorini osonlik bilan aniqlash mumkin. Xaqiqatan ham, ko’rinib turibdiki, har qanday belgilangan

yetarlicha kichik
h  0 uchun
0   1,
3  2h
3  2h

• 
  1.
  

Demak, n da (1.75) dagi birinchi had nolga intilib, ikkinchi cheksizga intiladi.
(1.69) masalaning (1.70) aniq yechimi x da 0,5ga intiladi. Ravshanki, y_n
taqribiy, yechimning xatoligi cheksizga intiladi va (1.73) metodning (1.69) masalaga qo’llanilishi noturg’undir. Shuni ham ta’kidlash kerakki, xatolikning

bunday o’sishi yaxlitlash xatoligi bilan bog’liq emas, chunki (1.75) formula
y_n ning

aniq matematik ifodasi bo’lib, (1.73) formulada hisoblash rasional sonlar ustida olib borilsa, hosil qilingan qiymatlar (1.75) formula yordamida hisoblangan qiymat bilan ustma-ust tushishi kerak. Buning sababi (1.68) metodning turg’un, ammo qat’iy

turg’unlikning yo’qligi
y_n ning raftorini aniqlaydi. Buni quyidagicha tushuntirish

mumkin: (1.73) ayirmali tenglamada
y_n2 , y_n1 , y_n lar qatnashganligi uchun u

ikkinchi tartibli ayrmali tenglamadir, shuning uchun ham u ikkita
n _va n



2



1
fundamental yechimga ega. (1.73) formula yordamida qurilgan
y_n ketma-ketlik




bitta fundamental yechimga ega bo’lgan birinchi tartibli differensial tenglama yechimini approksimasiyalash maqsadida quriladi. Differensial tenglamaning bu

fundamental yechimi
ⁿ ketma-ketligi bilan approksimasiyalanadi,
ⁿ ketma-ketlik

2



1
esa ,,zararli” bo’lib, tez nolga intilish kerak. Ammo har qanday
h  0
son uchun

₂  1 bo’lib,
ⁿ nolga intilmasdan, tebranib cheksizga intiladi va noturg’unlikning

2
kelib chiqishga sabab bo’ladi. Shuni ta’kidlash kerakki,
h  0 da ₁
va ₂

turg’unlik ko’phadining ildizlariga yaqinlashadi. Haqiqatan ham,
h  0 da (1.74)

ko’phad
² 1  0
ko’phadga aynadi. Bu yerda qat’iy turg’unlikning zarurligi

yaqqol ko’rinadi. Agar xarakteristik ko’phadning bittasidan tashqari qolgan hamma ildizlari absolyut qiymati bilan birdan kichik bo’lsa, u holda bu ,,zararli” ildizlarning darajalari ayirmali tenglamaning yechimi bo’lib, n da nolga intiladi va noturg’unlik holati paydo bo’lmaydi.
Biz ko’rib chiqqan turg’unlik h  0 dagi turg’unlikdir. Keltirilgan misol
ko’rsatadiki, metod turg’un, ammo qat’iy turg’un bo’lmasa, istalgancha kichik h
uchun noturg’unlikka olib keladi.

Xulosa.

Ayrim differensial tenglamalarni analitik usullardan tashqari hisoblash matematikasining metodlari yordamida ham yechish mumkin ekan.
Bu kurs ishida oddiy differensial tenglamalarni yechishni Koshi masalasini ko‘p qadamli ayirmali metodlari, jumladan Adamsning ekstrapolyatsion, interpolyasion yechish metodlari o‘rganildi.

Foydalanilgan adabiyotlar.

1. 
   Isroilov M. «Hisoblash metodlari», T., "O`zbekiston", 2003.
   
2. 
   Shoxamidov Sh.Sh. «Amaliy matematika unsurlari», T., "O`zbekiston", 1997
   
3. 
   Boyzoqov A., Qayumov Sh. «Hisoblash matematikasi asoslari», O`quv qo`llanma. Toshkent 2000.
   
4. 
   Abduqodirov A.A. «Hisoblash matematikasi va programmalash», Toshkent. "O`qituvchi" 1989.
   
5. 
   Abduhamidov A., Xudoynazarov S. «Hisoblash usullaridan mashqlar va labaratoriya ishlari», T.1995.
   
6. 
   Siddiqov A. «Sonli usullar va programmalashtirish», O`quv qo`llanma. T.2001.
   
7. 
   Исроилов М.И. Ҳисоблаш методлари. –Т.: “Ўзбекистон” 2003й