Котова лидия Владимировна

Алгебра  
Дискретн
математи
Теория чи
Рис. 2.2.9
льными в
ПК-1, ТПП
ОПППК-3
яя их, 
модуля М
т основны
КМ8-1); 
дискретн
из, рекур
мере да
риходится
ческий ма
ской по
в 
демон
доступн
ие ППК мо
Те
Те
ая 
ка  
Те
Ко
Ре
исел  
Те
9. Математ
внутренни
ПК-2, ТП
, ОПППК
мы полу
М8:
ые опреде
89
ной 
ма
сивные ф
ать теоре
я изучат
атериал не
одготовко
нстрация
на, на н
одуля отр
еория конеч
еория мног
еория кодир
омбинатор
екурсивные
еория сравн
тическая ба
ими ППК
ППК-3, ТП
К-4, ОППП
учаем с
еления и 
9 
атематике
функции)
етический
ь без до
едоступен
ой. При
возмо
аш взгля
ражены на
чных цикл
гочленов  
рования  
рный анали
е функции 
нений, фун
аза вариати
К дисцип
ППК-4, Т
ПК-5. 
следующи
свойства
е 
(теор
. Временн
й материа
оказательс
н для изуч
и опред
ожностей 
яд, даже
а рис. 2.2
лических гр
из 
нкция Эйле
ивного моду
лины явл
ТППК-5, П
ие ТППК
а объекто
рия 
ко
ные рамк
ал, поэто
ств. Одн
чения сту
деленной
псевдо
е заинтер
.9. 
рупп 
ера  
уля М8 
ляются д
ПППК-6, 
КМ8, ПП
ов теории
одировани
ки курса 
ому мног
ако это 
удентами 
выбор
ослучайны
ресованны
для данно
ОПППК
ППКМ8
и конечны
ия, 
не 
гие 
не 
со 
рке 
ых 
ым 
ого 
К-1, 
и 
ых 

---

90 
- имеет представление об основных свойствах конечных полей и 
многочленов над ними (ТППКМ8-2); 
- умеет строить решения линейного рекуррентного уравнения 
(ТППКМ8-3); 
- 
владеет 
навыком 
разложения 
многочленов, 
нахождения 
неприводимого многочлена над конечным полем определенной степени 
(ПППКМ8-1); 
- 
имеет 
представление 
о 
построении 
псевдослучайной 
последовательности заданного периода (ПППКМ8-2); 
- 
способен 
доступно 
для 
школьников 
продемонстрировать 
использование математических знаний в различных сферах жизни 
(ОПППКМ8-1). 
Примеры Т-заданий. 
• 
Докажите: Z
n 
 - поле тогда и только тогда, когда n - простое число. 
• 
Существует ли конечное поле порядка10? 
• 
Докажите, что минимальный многочлен главного решения 
линейного рекуррентного уравнения есть характеристический многочлен 
этого линейного рекуррентного уравнения. 
Примеры П- заданий. 
• 
Разложите многочлен x
27
 - x в произведение неприводимых над F
3
многочленов. 
• 
Зная, что многочлен 
1
2
3
4
+
+
+
+
x
x
x
x
неприводим над полем 
13
F
, 
найдите порядок многочлена
(
)
6
2
3
4
20
7
)
1
(
1
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
над 
13
F
. 
• 
Найдите многочлен, период главного решения которого, будет 
равен 15. 
• 
Вычислите 15 первых 
членов 
псевдослучайной 
последовательности
[
] [
]
0
,
10
10
10
1
≥
⋅
−
⋅
=
−
n
a
n
n
n
π
π
. 
В качестве основной литературы студентам могут быть предложены 
пособия: Нечаев В.И. «Элементы криптографии. Основы теории защиты 

---

91 
информации» [129]; Деза Е.И., Котова Л.В. «Теоретико-числовые основы 
защиты информации» [84]. 
Дополнительными источниками могут служить: [2], [11], [14], [34], 
[98], [99], [113]. 
На наш взгляд, конечные поля заслуживают более подробного 
изучения 
студентами, 
обучающимися 
по 
профилям 
подготовки 
«Информатика и Математика» и направлению подготовки Математика 
(прикладной бакалавриат), так как являются одним из основных 
инструментов в современной теории чисел, криптографии, вычислительной 
математике, физике (радиолокация).
 
 

---

92 
2.3. Методы и формы профессионально направленного обучения 
основам защиты информации 
В выделенных нами условиях реализации профессиональной 
направленности математической подготовки учителей информатики при 
обучении методам и средствам защиты информации мы отмечали 
необходимость использования различных приемов проблемного oбучения, 
самостоятельной и исследовательской деятельности студентов. Далее мы 
выделим формы такой деятельности, на наш взгляд, наиболее 
способствующие реализации поставленных целей. 
2.3.1. При выборе методов обучения для каждого конкретного модуля 
при изучении его студентами различных профилей подготовки мы 
придерживались классических подходов, основанных на анализе конкретных 
условий и задач, возникающих при изучении основ криптографии, учитывая: 
• 
общие цели профессионально-направленной подготовки будущих 
учителей информатики; 
• 
особенности изучаемой дисциплины в целом; 
• 
цели, задачи и содержание конкретного модуля; 
• 
время, отведенное на изучение модуля;
• 
уровень математической подготовки и навыки программирования 
студентов в зависимости от профиля подготовки; 
• 
материальную оснащенность учебного заведения; 
• 
наличие методического сопровождения в виде пособий и средств 
удаленного контроля.
Метод обучения – это процесс взаимодействия между преподавателем 
и студентом, направленный на передачу знаний, умений и навыков от 
учителя к обучающемуся, в рамках определенного содержания [149]. 
Методы, учитывая различные подходы к выделению их основных 
характеристик, подразделяют по манере изложения учебного материала на 
словесные, наглядные, практические. Такая классификация представлена в 

---

93 
высшей школе тремя основными формами занятий: лекции, семинары, 
лабораторные работы. 
М.Н. Скаткин [142], И.Я. Лернер [111] рассматривали методы с точки 
зрения храктеристики преподнесения учебного материла и соответственной 
познавательной 
деятельности 
обучающихся: 
объяснительно-
иллюстративный 
(информационно-репродуктивный); 
репродуктивный 
(границы мастерства и творчества); проблемное изложение знаний; 
частично-поисковый (эвристический); исследовательский. 
М.И. Махмутов [120] отдельно рассматривал методы преподавания 
(информационно-сообщающий, 
объяснительный, 
инструктивно-
практический, объяснительно-побуждающий, побуждающий) и методы 
учения (исполнительный, репродуктивный, продуктивно-практический, 
частично-поисковый, поисковый).
У Ю.К. Бабанского [9] классификация еще шире. Она представлена:
• методами организации и осуществления учебно-познавательной 
деятельности (словесные, наглядные, практические, репродуктивные и 
проблемно-поисковые (от частного к общему, от общего к частному), 
методы самостоятельной работы и работы под руководством 
преподавателя); 
• методами стимулирования и мотивации учебно-познавательной 
деятельности (стимулирование и мотивация интереса к учению, 
стимулирование и мотивация долга и ответственности в учении); 
• методами контроля и самоконтроля за эффективностью учебно- 
познавательной деятельности (устного, письменного и лабораторно-
практического). 
Эти авторы, несмотря на различия в классификации, рассматривали 
методы обучения, в первую очередь, выделяя формы познавательной 
деятельности учащихся, возможности их организации и контроля, что 
составляет основу 
т
еории проблемно-развивающего обучения.
Цель проблемно-развивающего обучения - усвоение не столько 

---

94 
результатов научного познания, сколько процесса получения этих 
результатов, а в конечном итоге - развитие творческих умений и навыков, 
формирование творческого профессионально направленного мышления. 
Именно эти цели мы ставим перед собой при разработке дидактической 
модели профессионально направленной математической подготовки учителя 
информатики при обучении методам и средствам защиты информации. 
2.3.2. Для высшей школы наиболее актуальны проблемное изложение 
учебного материала в монологическом режиме лекции либо диалогическом 
режиме семинара и частично-поисковая деятельность при выполнении 
эксперимента на лабораторных работах (рис. 2.3.1). 
В ходе 
лекций мы полагаем эффективными при изучении современных 
интегративных дисциплин следующие известные формы проблемного 
обучения. 
• 
Сообщающее изложение с элементами проблемности. В нашем случае 
это может быть использовано в ходе лекций при знакомстве с 
современными задачами. Возникает необходимость уделять особое 
внимание метапредметности современных проблем, невозможности их 
решения 
только 
классическими 
методами 
одного 
научного 
направления. Например, такой метод изложения актуален при изучении 
модуля М1. Последовательное изложение успехов и новых 
возникающих задач при эволюции шифровального дела позволяет 
вовлечь студентов в процесс поиска решений то задач шифрования, то 
задач вскрытия усовершенствованных шифров. 
• 
Познавательное проблемное изложение, также реализуемое в процессе 
лекционного обучения, позволяет познакомить с широким спектром 
различных научных теорий, привлекаемых при решении современных 
задач защиты информации. Этот метод наилучшим образом подходит 
для изложения модулей М6 и М7. Поиск оптимальных алгоритмов 
решения конкретной задачи требует последовательного поиска 

---

95 
возможных способов ее решения, анализа их использования и 
комбинирования. 
• 
Диалогическое проблемное изложение - обсуждение со студентами в 
ходе лекций возможных путей решения поставленных задач, на 
основании изученных ими ранее теорий. Этот дает довольно широкие 
возможности 
для 
активной 
творческой 
самостоятельной 
исследовательской деятельности студентов, обеспечивает тесную 
обратную связь в обучении. 
Учитывая 
современность 
подавляющего 
большинства 
задач, 
рассматриваемых в процессе изучения дисциплины МСЗИ, необходимо 
особое внимание уделять не уже решенным задачам, а задачам, стоящим в 
данный момент и возникающим новым. Вследствие этого, изучение именно 
различных теоретических подходов к решению задач, классических и 
современных, выходит на передний план по сравнению с результатами 
решения этих задач. Наиболее эффективными формами проблемного 
обучения в рамках дисциплины МСЗИ являются лабораторные работы – 
«один из видов самостоятельной практической работы, проводимой 
учащимися с целью углубления и закрепления теоретических знаний, 
развития навыков самостоятельного экспериментирования» (Б.М. Бим-Бад 
[18]). Особенно это становится актуальным при обучении интегрированным 
дисциплинам, требующим активного применения навыков, полученных в 
различных областях знания.
Однако для подготовки к таким работам часто недостаточно только 
лекционных занятий. Поэтому семинарские занятия, проводимые с 
использованием форм частично-поисковой деятельности, являются 
промежуточной формой между получением информации на лекции и 
поиском оптимального решения поставленной задачи на лабораторной работе 
(рис. 2.3.1).
Так, например, при изучении модулей М5, М6 и М7 основной целью 
заданий является выбор оптимального алгоритма для решения конкретной 

---

96 
задачи. На лекции можно познакомить с различными методами решения 
таких задач, но, опираясь только на теоретические материалы лекций, без 
отработки практического применения этих методов в различных условиях, 
которое происходит на семинарском занятии, студентам трудно будет сделать 
выбор при решении отдельной исследовательской задачи, выполняемой в 
рамках лабораторной работы.