Краевые задачи для уравнений четвёртого порядка составного типа

2. Существование решения задачи .
Положим
Теорема 1.2. Если функция удовлетворяет на Г условия Гельдера с показателем , , то решение задачи существует.
Доказательство. Обозначим
. (2.11)
Тогда уравнение (2.1) можем написать в следующим виде
. (2.12)
Уравнение (2.12) будем решать с краевым условием
(2.13)
где - пока неизвестная функция.
Решение задачи (1.12), (1.13) дается формулой [17]
(2.14)
где
– функция Грина, – регулярная часть функции Грина.
Из уравнения (2.11), в силу обозначения (2.7), с учетом условий (2.2), получим следующую задачу
(2.15)
(2.16)
где


Решение задачи (2.15), (2.16) выражается формулой
(2.17)
Вставляя (2.14) в (2.17) получим


Пусть

Интегрируем первое слагаемое в .






тогда
где
Так как
то


=




Подставляя вычисленные значения интегралов в (2.18) получим


Устремляя теперь точку к точке , из (2.17) получим
, (1.18)
здесь



Покажем, что интеграл

дифференцируем по s₀.
Обозначая через l₃ длину контура Г, имеем



Функция ищется из класса функций, удовлетворяющих условию Гельдера. Поэтому для нее справедливо неравенство
,
где , а L – положительная постоянная. Поэтому второе слагаемое правой части последнего соотношения стремится к нулю при .
Следовательно

Дифференцируя теперь уравнение (1.18) по , получим
(1.19)
здесь

В работе [ ] исследовано поведение функции при и показано непрерывность и получена оценка

А также в силу свойства функции Грина и функция также непрерывна в рассматриваемой области.
В самом деле, функции , где


непрерывны при .
Пусть

Дифференцируя функцию по получим

Если , то равен половине кривизны .
В этом нетрудно убедиться разлагая функции в ряды Тейлора в окрестности точки s₀ . Отсюда заключаем, что функция

будить непрерывна при .
Таким образом, в силу свойств функции Грина, имеем

Предположим, что функция F₁(s₀) известна. Выше было сказано, что функцию мы будем искать в классе функций удовлетворяющих условию Гельдера. Тогда также удовлетворяет условию Гельдера. Согласно общей теории сингулярных интегральных уравнении, решение уравнения (1.23), удовлетворяющее условию Гельдера выражается формулой ([28])

Подставляя сюда выражение для F₁(s₀), приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода вида
(1.20)
где

В силу условий теоремы 1.2 функция удовлетворяет условию Гельдера, тогда функция так же принадлежит этому классу [28].
Уравнение (1.20) перепишем в следующим виде (1.21)
Здесь


Теперь, для определения функции решаем уравнение (1.7) с граничным условием

Решение этой задачи выражается формулой (см.(1.17))

Подставляя выражение имеем

(1.22)
Рассмотрим 3 слагаемое




где

Теперь 1 и 2 слагаемые перепишем в следующем виде




Используя I_1, I_2, I₃ равенство (1.22) перепишем в виде

(1.23)
Где

Таким образом мы получим систему интегральных уравнений второго рода Фредгольма.
(1.23)
(1.24)
В силу условий теоремы 1.2 функция удовлетворяет условию Гёльдера, тогда функция также принадлежит этому классу [28], а ядро непрерывна. К уравнению (1.23), (1.24) приминима альтернативы Фредгольма [8.28]. Разрешимость систем уравнений Фредгольма второго рода следует из единственности решения задачи.