Kramer qoidasi. Matritsa usuli. Ushbu ko‘rinishdagi  tenglama chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

3-tеоrеmа. Mаtritsа rаngi uning ustidа elеmеntаr аlmаshtirishlаrni bаjаrish nаtijаsidа o‘zgаrmаydi.
Bu tеоrеmа isbоti yuqоridа kеltirilgаn dеtеrminаntlаr хоssаlаridаn kеlib chiqаdi. Хuddi shuningdеk mаtritsа rаngi uchun quyidаgi хоssаlаr o‘rinli ekаnligini ko‘rsаtish mumkin:

Agаr vа lаr kvаdrаt mаtritsаlar bo‘lib, bo‘lsа, u hоldа
bo‘ladi.Endi ixtiyoriy tartibli determinant tushunchasini kiritishimiz mumkin.
Ushbu
ifoda - tartibli determinant deyiladi.
Avvalgi xossadan foydalanib natijani isbotlash uchun elementni chap yuqori burchakka, ya’ni ning o‘rniga olib kelish kerak, ammo bunda qolgan satr va ustunlarning tartibini saqlab qolish zarur. Buning uchun -satrini ketma-ket bir pog‘ona yuqorisidagi satr bilan almashtirish zarur. Bu amal marta bajariladi, demak, xossaga ko‘ra, determinantning ishorasi (–1) songa ko‘payadi. Xuddi shunday - ustunni marta almashtirib, maqsadga erishamiz. Natijada ishora songa ko‘payadi.
Yuqorida kiritilgan determinant minor, son esa elementning algebraik to‘ldiruvchisi deb ataladi.
Keltirilgan natija va xossa determinantni biror satri yoki ustuni bo‘yicha -tartibli determinantlar yig‘indisiga yoyishga imkon beradi:
.
Masalan, determinantni 3-ustuni bo‘yicha yoysak:
Yuqoridagi formulani asoslash uchun misol ko‘raylik.
.
xossaga va natijaga ko‘ra:

.
Shu mulohaza umumiy holda ham o‘rinli:

Bu formuladan teskarisiga ham foydalanish mumkin, ya’ni qandaydir sonlar bo‘lsa,

tenglik o‘rinli. Xuddi shunday yig‘indini determinantda -ustunni o‘chirib, o‘rniga sonlarni yozib chiqishdan hosil bo‘lgan determinantga teng.
Agar ,  yig‘indini ham shunday determinant ko‘rinishida ikkita bir xil - va - ustunlar hosil bo‘ladi. Demak, xossaga ko‘ra bunday yig‘indi nolga teng, ya’ni
, agar .
Bajarilgan tayyorgarlik ishlarimizdan so‘ng, asosiy masalamiz:

tenglamalar sistemasini yechishga qaytamiz.
Buning uchun
; ;
; …;
belgilashlar kiritib, deb hisoblaymiz.
Endi sistemaning 1-tenglamasini songa, 2-tenglamasini songa, 3-tenglamasini songa va hokazo, oxirgi tenglamasini songa ko‘paytirib, barcha tengliklarni qo‘shib chiqamiz. Natijada
.
Determinantning xossalariga ko‘ra va , hamda .
Demak, , bundan esa kelib chiqadi.¹
Endi tenglikni keltirib chiqarishni oquvchiga havola qlamiz .
Hosil bo‘lgan: , , …,
Maslan,

sistemada bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega:
; ; .
Shunday qilib, holda Kramer formulalari sistemaning yechimini ifodalaydi.
Agar , ammo sonlardan birortasi noldan farqli bo‘lsa, sistemaning yechimi yo‘q, ya’ni chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda emas.
Nihoyat, holda tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, Kramer formulalari ma’noga ega emas.