Кукон давлат педагогика институти

Назорат учун саволлар

1. Предикат тушунчаси билан мулоъаза тушунчаси орасидаги фарыни тушунтириб беринг.

2. n-щринли предикат таoрифини келтиринг.

3. Предмет щзгарувчилари деб нимага айтилади?

4. Айнан рост предикат тушунчасини таoрифланг.

5. Айнан ёльон предикат тушунчасини таoрифланг.

6. Бажарувчи (инкор ыилинувчи) предикат тушунчасини таoрифланг.

7. Предикатнинг ростлик соъаси деб нимага айтилади?

8. Ростлик соъаси тушунчаси ёрдамида предикатлар классификациясини келтиринг.

9. Тенг кучли предикатлар деб нимага айтилади.

10. Бир предикатдан иккинчи бир предикатнинг келтириб чиыармани таoрифини келтиринг.
13-Мавзу:Предикатлар устида логик амаллар.

Режа.

1. 
   Предикат инкори.
   
2. 
   Икки предикатнинг конoюкцияси.
   
3. 
   Икки предикатнинг дизoюнкцияси.
   
4. 
   Инкор, конoюкция, дизoюнкциянинг хоссалари.
   
5. 
   Икки предикатнинг импликациси ва эквивалентлиги.
   

Таянч иборалар.

Инкор, конoюкция, дизoюнкция, щринларнинг ортиши, амалларга хос бщлган хоссалар, импликация, эквивалентлик.
Предикатлар мулохазарлар тушунчасидан кщра умумийроы тушунча бщлагани учун мулохазалар устида аниыланган логик амалларни предикатларда хам аниылашимиз мумкин .

1.Предикат инкори.

Таoриф: М₁М₂…М_n тщпламда аниыланган n-щринли Р(х₁,х₂,…,х_n) предикатнинг инкори деб яна М₁М₂М_n тщпламда аниыланган ва Р(х₁,х₂,…,х_n) каби белгиланувчи шундай n-щринли приликатни айтамизки, бу предикат Р предикат рост мулоъазага айланувчи (а₁,…а_n) М₁М₂…М_n ихтиёрий предикат ыийматида ёльон мулоъазага айлансин. Бошыача ыилиб айтганда (а₁,…а_n)  М₁М₂…М_n ларда Р(а₁,а₂,…,а_n) мулоъаза Р(а₁,а₂,…,а_n) мулоъазанинг инкори бщлсин.

Мисол. 1) Р(х): «х<3», Р(х): «х3»

2) Р(х): «sin²х+соs²x=1», Р(х): «sin²х+соs²x1»

Теорема. М₁М₂…М_n тщпламда аниыланган Р(х₁,х₂,…,х_n) n-щринли предикат учун унинг инкори бщлган Р(х₁,х₂,…,х_n) предикатнинг ростлик соъаси Р предикат ростлик сиъасининг тщлдирувчисига тенгдир яoни (Р)⁺=(Р⁺)

Натижа: Предикатнинг инкори айнан рост бщлиши учун

Берилган предикатнинг щзи айнан ёльон бщлишлиги зарур

ва етарли.

2. Предикатлар конpюкцияси.

Таoриф. М₁М₂…М_n тщпламда аниыланган n-щринли Р(х₁,х₂,…,х_n) предикат билан N₁N₂…N_m тщпламда аниыланган m-щринли Q(y₁,y₂,…,y_n) предикатларнинг конpюкциясида М₁М₂…М_n N₁N₂…N_m тщпламда аниыланган шундай (n+m) - щринли Р(х₁,х₂,…,х_n)  Q(y₁,y₂,…,y_n) каби белгиланувчи предикатга айтиладики, бу предикат Р ва Q лар бир пайтда рост мулоъазага айланувчи ыийматлардагина рост мулоъазага айланса,

масалан: 1) Р(х): х<3; Q(x): x>-3; Р(х)  Q(x):( х<3) ( x>-3)-3

2) Р(х):(x=0); Q(y): (y=0); Р(х)  Q(x):(х=0) (y=0)x²+y²=0

Теорема. Бир хил тщпламда аниыланган иккита n-щринли Р(х₁,х₂,…,х_n) ва Q(х₁,х₂,…,х_n) предикатлар конpюкцияси Р(х₁,х₂,…,х_n) Q(х₁,х₂,…,х_n) нинг ростлик соъаси ъар бир предикат ростлик соъаларини кесишмасидан иборатдир. (РQ)⁺=Р⁺Q⁺

Натижа. Икки предикатли конpюкцияси айнан рост бщлиши учун уларнинг ъар бири айнан рост бщлишлиги зарур ва етарли.

3. Предикатнинг дизoюкцияси.

Таoриф. М₁М₂…М_n тщпламда аниыланган n-щринли Р(х₁,х₂,…,х_n) предикат билан N₁N₂…N_m тщпламда аниыланган m-щринли Q(y₁,y₂,…,y_n) предикатларнинг дизoюкциясида М₁М₂…М_n N₁N₂…N_m тщпламда аниыланган шундай (n+m) - щринли Р(х₁,х₂,…,х_n)  Q(y₁,y₂,…,y_n) каби белгиланувчи предикатга айтиладики, бу предикат берилган предикатлардан ъеч бщлмаганда биттаси рост мулоъазага айланучи предмет щзгарувчиларнинг ыийматлардагина рост мулохазага айлансин.

Теорема. Бир хил тщпламларда аниыланган иккита n-щринли Р(х₁,х₂,…,х_n) билан Q(y₁,y₂,…,y_n) предикатларнинг дизoюкциясининг ростлик сохаси берилган хар бир предикатлар ростлик сохаларининг бирлашмасидан иборатдир, яoни (РQ)⁺=Р⁺Q⁺

Натижа1) икки предикатнинг дизoюкцияси бажарилувчи предикат бщлишлиги учун берилган предикатлардан хеч бщлмаганда биттаси бажарилувчи бщлишлиги зарур ва етарли.

2) икки предикатнинг дизoюкцияси айнан ёльон предикат бщлиши учун берилган предикатларнинг айнан ёльон бщлишлиги зарур ва етарли.

Мисол. 1) Р(х):(x0); Q(х): (y0); Р(х)  Q(x): x0 ёки y0 x²+y²0

2) Р(х) «х²-х-60» Р⁺ [-2;3]

Q(х) «х²-1>0» Q(-:-1)v(1: )

Р(х) vQ(x)=( -::):»х- ихтиёрий хаыиыий сон»

Конoюкция, дизoюкция ва инкорнинг хоссалари

Бу амалларнинг хоссалари мулохазалар алгабрасига киритилган хоссалар (яoни конoюкция, дизoюкция ва инкорнинг хоссаларини белгилаб берувчи тенгкучли формулалар) да кщрсатилгандек аниыланиши мумкин. Фаыат бу ерда тенгкучлиликлар орасидаги боьланишларни кщриб щтамиз.

Теорема. Мулохазалар алгабрасидаги 3.2 формулаларда (тенгкучлилик формулалар) Р, Q, R лар щрнида предикатларни тушунсак, (мос тщпламларда аниыланган)  белги щрнига  белгини,  белги щрнига  лар келтириб чиыарилган белгини алмаштирсак, у ъолда предикатлар учун щринли бщлган тасдиыларни ъосил ыиламиз.

4. 
   Икки предикатларнинг импликацияси ва эквивалентлиги.
   

Таoриф. Икки предикатнинг Р(х₁,х₂,…,х_n)  Q(y₁,y₂,…,y_n) ипмликацияси деб шундай ((n+m)- щринли) предикатга айтиладики, бу предикат а₁М₁, а₂М₂,… а_nМ_n ва b₁N₁, b₂N₂,… b_nN_n предикат ыийматларида Р(а₁,а₂,…,а_n) мулоъаза билан Q(b₁,b₂,…,b_n) мулоъазанинг ипликацияси Р(а₁,а₂,…,а_n)  Q(b₁,b₂,…,b_n) дан иборат бщлсин. Ъудди шу каби предикатларнинг эквивалентлиги аниыланади.

Икки предикатнинг импликацияси айнан рост предикат бщлиши учун Р⁺Q⁺ бщлишлиги зарур ва етарли. (РQ)

Бир хил тщпламда аниыланган икки предикатларнинг эквивалентлиги айнан рост бщлиши учун бу предикатларнинг тенг кучли бщлиши зарур ва етарли. Бундан олдинги келтирилган теоремага щхшаш юыорида келтирилган логик амалларни хоссаларини мулоъазалар алгебрасида келтирилган хосссалар каби аниылаш мумкин экан.

Назорат учун саволлар.

1. n -щринли предикат учун инкор амали ыандай аниыланади?

2. Предикат билан унинг инкори ростлик соъалари орасида ыандай боьланиш бор?

3. Икки предикатнинг конoюнкцияси ыандай аниыланади?

4. Предикатлар конoюнкциясининг ростлик соъаси ыандай ифодаланади?

5. Икки предикатнинг дизoюнкцияси ыандай аниыланади?

6. Предикатлар дизoюнкциясининг ростлик соъаси ыандай ифодаланади?

7. Предикатлар инкори, конoюнкцияси ва дизoюнкцияси хоссалари ъаыида нима дея оласиз?

8. Икки предикатнинг импликацияси ва эквивалентлиги таoрифини келтиринг.

9. Предикатлар импликацияси ва эквивалентлигида ростлик соъалар ыандай муносабатда бщлади?

10. Р(x): {xR: x²–x–6=0} предикатнинг ростлик соъасини кщрсатинг.

14-Мавзу:Предикатлар устида кванторли амаллари.

Режа.

1. 
   Умимийлик квантори.
   
2. 
   Мавжудлик квантори.
   
3. 
   Сонли кванторлар.
   
4. 
   Чегараланган кванторлар.
   

Таянч иборалар.

Умимийлик квантори орыали боьланиш, х белги, боьланган щзгарувчи, мулохаза ъосил ыилиш, мавжудлик квантори орыали боьланиш, х белги, боьланган щзгарувчи, щринларни камайтириш, хеч бщлмаганда n та, кщпи билан n та,роппа-роса n та, мавжудлик ва ягоналик квантори, чегараланган умумийлик квантори, чегараланган мафжудлик квантори.
Бундан олдинги мавзуларда предикатлар устида мулоазалардагидек логик амалларни аниылаган эдик. Предикатлар устуда яна шундай амалларни аниылаш мумкинки, бундай амаллар фаыат предикатларнинг щзигагина таалуылидир. Предикатлар алгебрасида асосан иккита кванторлик амал мавжуд. Бу умумийлик квантор орыали боьланиш амали, мавжудлик квантори орыали боьланиш амали.

Умумийлик квантори. Маoлумки бир щринли предикатни мулоъазага айлантириш учун унда иштирок этаётган щзгарувчи щрнига конкрет предметни олиб бориш кифоядир. Предикатни мулоъазага айлантиришнинг яни бир бошыа усули бордир. Бу предикатга умумийлик квантори орыали боьланиш амали ёки мавжудлик квантори орыали боьланиш амалини ыщллашдир. Бу амалларнинг ъар бири бир щринли предикатга логик ыиймати аниы бщлган ыандайдир мулоъазани мос ыщяди.

Таoриф. Умумийлик кванори орыали боьланиш амали деб шундай ыонун ыоидага айтиладики, бу ыоидага кщра M тщпламда аниыланган бир щринли Р(х) предикатга шундай малоъаза мос бщладики, бу мулоъаза ((х)(Р(х)) каби белгиланади) Р(х) предикат айнан рост предикат бщлгандагина рост мулоъаза бщлса, (акс ъолда инкор) акс ъолда ёльон мулоъаза бщлса.

[(х)(Р(х))]=

бу ерда ((х)(Р(х)) ёзув ыуйидагича щыилади: «ихтиёрий х ларнинг ыийматларида Р(х)(ростдир).  белги инглизча «all» сщзи (яoни «барча», «ъамма» ёки «ихтиёрий» маoносини англатади) дан олинган бщлиб, умумийлик квантори белгиси дейилади»

х эса х щзгарувчи бщйича умумийлик квантори дейилади.

хN: Р(х): «1х» - айнан рост

Q(х): «х30» - инкор ыилинувчи

((х)(Р(х)): «ихтиёрий х нинг ыийматларида 1х щринлидир» 

 «ихтиёрий натурал сон 1 дан кичик эмас»

((х)(Р(х)): «ихтиёрий х нинг ыийматларида х30 щринли» 

 «ихтиёрий натурал сон 30га бщлинади»

((х)(Р(х)) ёзувда х щзгарувчи , щзгарувчи вазифасини бажармайди яни унинг щрнига конкрет предментларни ыщйиб бщлмайди. Шунинг учун бу ъолда х ни боьланган щзгарувчи ёки «соыов щзгарувчи » ъам дейилади.