Кукон давлат педагогика институти

Мисол:Туб соннинг таoрифини ыараб чиыамиз. “х натурал сон туб сон дейилади, агар у бирга тенг бщлмаса, ъамда бу сонни кщпайтувчиларга ёйганимизда хар ыандай ъолда бу кщпайтмадаги кщпайтувчилар бир ва х дан иборат бщлсин.”

(х=1)(u)(v)(х=uv(u=1u=х))

Бу таoрифнинг инкоридан мураккаб сон таoрифини ъосил ыилишимиз мумкин.

((х=1)(u)(v)(х=uv(u=1u=х))

((х=1)(u)(v)((х=uv)(u=1u=х))=

=[х=1(u)(v)(х=uv(u=1)(u=х))].

Бошида айтиб щтганимиздек, предикатлар логикаси тили мулоъазалар алгебраси тилидан кщра нозикроы яoни фикрлаш проциссини бу тил янадааниыроы ва нозикроы кщринишда ифодаланиши мумкин.Бундай ифодалаш мулоъазалар алгебрасида хар боим ъам амалга ошавермайди. Бунинг далили сифатида ыуйдаги мисолларни келтирамиз.
Мисол:Ыуйдаги мулохазани ыараймиз. “Хар ыандай инсоннинг онаси мавжуд.” агар бу мулоъазани мулоъазалар алгебрасидан фойдаланган бщлсак, уни фаыат А харфи билан ифодалашимиз мумкин.Предикатлар логикасида бу мулохазани ифодалашда унинг ички тузилишига ъам эoтибор берилади.Ъаыиыатдан ъам, Р(х,у) орыали икки щринли ыуйдаги предикатни белгилаймиз: “х инсон у инсоннинг онаси”.

(х)(у)(Р(х,у)).

Агар ыуйдагича бир щринли Q(у)(“у инсон”)

(у)((Q(у))(х)(Р(х,у))).

Мисол: “Тошкентда шундай аёл яшайдики, унинг Фарьонада акаси бор.”

“Фарьонада шундай эркак яшайдики, унинг Тошкентда синглиси бор ”.

Бу берилган икки мулоъаза мулоъазалар алгебрасидаги хар бир иккинчисидан келиб чиыишини кщрсатиш мумкин.Яoни бу билан бу мулоъазалар тенглигини кщрсатамиз. Предикатлар логикасида эса, бу мулоъазаларни тенг кучлилигини кщрсатишимиз мумкин, лекин биридан иккинчисини келтириб чиыаришни кщрсата олмаймиз. Мулоъазалар алгебрасида биринчи мулоъазани А билан иккинчисини В билан ифодалаймиз. Бу билан мулоъазанинг тенг кучлилигини кщрсатамиз. Бунинг учун содда мулоъазаларга ажратамиз.

А₁= “Аёл тошкентда яшайди.”

А₂= “Аёлнинг Фарьонада акаси бор.”

В₁= “Эркак Фарьонада яшайди.”

В₂= “Эркакнинг Тошкентда синглиси бор.”

А= А₁А₂ В= В₁В₂

Бу формулалар ъам бири иккичисидан келиб чиыишини кщрсатмайди. Бу мулоъазаларнинг тенг кучлилигини предикатлар логикаси тилидаги ифодада кщришимиз мумкин.

Р₁(х): “х-аёл”

Р₂(х): “х Тошкентда яшайди.”

Q₁(х): “х- эркак”

Q₂(х):“х-Фарьонада яшайди”.

S(х,у): “х у нинг синглиси”.

(х)[(Р₁(х)Р₂(х))(у)(Q₁(у)Q₂(у)S(х,у))]

иккинчи мулоъазага

(у)[(Q₁(у)Q₂(у))(х)(Р₁(х)Р₂(х)S(х,у))]

Бу ъосил ыилинган формуланинг тенг кучлилигини кщрсатамиз.

(х)[(Р₁(х)Р₂(х))(у)(Q₁(у)Q₂(у)S(х,у))]

(х)(у)(Р₁(х)Р₂(х)(Q₁(у)Q₂(у)S(х,у))

(у)(х)(Q₁(у)Q₂(у)Р₁(х)Р₂(х)S(х,у))

(у)[(Q₁(у)Q₂(у)(х)(Р₁(х)Р₂(х)S(х,у))].

Математикадаги теоремалар ыадимли пайтдан буён тщрт хил кщринишда бщлиниб келади.Бундай бщлинишни эрамиздан аввалги IV асрда яшаб щтган юнон олими Аристотел кщрсатиб берган:

A:“Барча S лар Р бщлади.”

E:“Хеч ыандай S Р бщлмайди.”

I:“Ыандайдир S лар Р бщлади.”

О:“Ыандайдир S лар Р бщлмайди.”

Бу ерда А-умумий тасдиыловчи фикрлаш

E-умумий инкор этувчи тасдиылаш

I-ыисмантасдиыловчи фикрлаш

О-ыисман инкор этувчи тасдиы деб юритилади.

Бу фикрлашларнинг ъар бир кщрнишини алохида кщриб щтамиз. Умумий тасдиыловчи фикирлаш “Барча S лар Р бщлади.” Шундай кщринишдаги тасдиылар математикада жуда кщп учрайди.

Масалан: “Барча тщьри тщртбурчаклар паралелограмм бщлади.”, “барча гамотериялар щхшаш алмаштириш бщлади.”, “барча шарлар айланма жинслардир.”

Бу кщринишдаги фикрлашлар предикатлар логикасида ыуйдагича тушинилади. “х обoект ыайдай бщлмасин, агар у S хусусиятга эга бщлган (яoни S(х) рост бщлса) у ъолда бу обoект Р хусусиятга ъам эга (яoни Р (х) ъам рост бщлади)”. Яoни бу фикрлаш предикатлар логикасида А(х)(S(х))Р(х) (1)

Предикатлар логикасида А фикрлашни бошыачароы кщринишда ифодалаш имконияти бор. Бунинг учун (1) ни тенг кучли алмаштиришлар ёрдамида бошыача ёзишимиз мумкин: (х)(S(х))Р(х) (1) ((х)(S(х)))Р(х)(х)((S(х))(Р(х)).

Бу ъосил бщлган ифода ыуйдагича щыилиши мумкин: “Ыандайдир S лар Р эмас.” яoни бу ифода “S шартни обoектлар мавжуд бщлиб, уларнинг барчаси Р хоссага эга” деб тушиниш мумкин.

(х)(S(х))(х)(S(х)Р(х)) (1’)

1. 
   ифода бошыача щыилиши мумкин.
   

(х)(S(х))(х)(S(х)Р(х)) (1’’)

Агар S хусусиятга эга бщлган обoектлар мавжуд бщлса, у ъолда уларнинг барчаси Р хусусиятга эга. Юыоридаги фикрлашнинг предикатлар логикаси тилида бундай таржималари ичида биз учун энг ыулайи (1) кщринишдаги ифодадир.Яoни “барча S лар Р бщлади”. Буни S хусусиятга эга бщлган обoектлар тщпламига ыисм бщлади. SР

Умум инкор ыиливчи фикрлаш.

E: «Хеч ыандай S лар Р бщлмайди.»

Шу каби фикрлашлар учун ыуйдаги теоремалар мисол бщла олади. Хеч ыандай элипс биринчи тартибли чизиы бщла олмайди,Хеч ыандай учбурчак айлана бщла олмайди,умумий ъади 0 га интилмайдиган хеч ыандай сонли ыатор яыинлашувчи бщлмайди. Бундай фикрлашга (мисол) мос келувчи математик бщлмаган ибораларга мисоллар.

Мисол: Хеч ыандай илон ыуш бщла олмайди.

Хеч ыандай тошлар гапира олмайди.

Бундай фикрлаш ыилувчи маoнони англатади. S хусусятга эга бщлган хар ыандай обoект Р хусусятга эга эмас деб, тушиниш мумкин. Буни предикатлар логикасида ыуйдагича белгилар киритамиз.

(х)(S(x)Р(х)). Барча S лар Р эмас деб тушуниш мумкин, яoни (S(x)Р(х)) предикатлар логикасидаги ифоданитенг кучли алмаштиришлар ёрдамида ыуйдагича ифодалаш мумкин.

(х)(S(x)Р(х))(х)(S(x)Р(х))((х)(S(x)Р(х))  (х)(S(х)Р(х))

Ыандайдир S хусусятга эга обoектлар Р хусусятга эга бщлишлиги ёльон.

Математик жихатдан энг ыулай ифода (х)(S(x)Р(х)) ифодадир. Бу ифода шуни кщрсатдики S хусусятга эга бщлган барча обoектлар тщпламининг тщлдирувчисиги ыисм бщлишлигини кщрсатади

Ыисман тасдиыловчи фикрлаш.

I: “Ыандайдир S лар Р бщла олади.”

Бундай каби фикрлашларга математикада ыуйдаги ифодалар мисол бщлади.Ыандайдир функциялар даврийдир, ыандайдир паралелограмлар айлана ичига чизиш мумкин,ыандайдир туб сонлар жуфтдир, ыандайдир одамлар еврист чщыыисига чиыишган, ыандайдир илон захарлидир.

«S хусусиятга эга бщлган обoектлар ичида Р хусусиятга эга бщлганлари хам бор.»

(х)(S(х)Р(х)) бу ифода чегараланган мавжудлик кванторини билдиради. ((S(х)Р(х))

(х)(S(х)Р(х)) ни ъам тенг кучли алмаштиришлар ёрдамида (х)(S(х)Р(х)) ни бошыача кщринишда ифодалаш мумкин.

((S(х)Р(х))(х)(S(х)Р(х))(х)((S(x)Р(х)))

(х)(S(x)Р(х))(х)(S(x)Р(х))(х)(S(x)Р(х)).

Хосил ыилинган ифодани “барча S хусусиятга эга бщлган обoектлар Р хусусиятга эга бщлмаслиги ёльон” каби щыиш мумкин.

Бундан кщринадика, I ифода Е ифоданинг инкори экан.Буни тшпламлар назарияси тилида ифодаласак, SР

Ыисман инкор ыилинувчи фикирлаш.

“Ыандайдир S лар Р бщлмайди.”

Бунинг маoроси ыуйдагини англатади: “S хусусиятга эга бщлган обектлар ичида Р хусусиятга эга бщлмайдиганлари мавжуд.”

О: (х)(S(х)Р(х)) ёки чегараланган мавжудлик квантори тилида ((S(х))(Р(х))

(х)(S(х)Р(х)) ни тенг кучли алмаштиришлар ёрдамида ыуйдагини алмаштириш мумкин. (х)(S(х)Р(х))

 (х)(S(x)Р(х)).

Бундан кщринадики, О А нинг инкори экан. Бу тщпламлар назарияси тилида S.

Шуни эслаб щтамизки, Е ва I фикирлашида щрин алмаштириш ъоссаси щринли яни Е: (х)(S(х)Р(х))(х)(Р(х)S(х)).

I: (х)(S(х)Р(х))(х)(Р(х)S(х)).

Бу ифодалар мос равишда ыуйдагини англатади: “хеч ыандай S Р эмаслиги”, “хеч ыандай Р S эмаслигига тенг кучли”, “ыандайдир S Р эканлиги, ыандайдир Р S эканлигига тенг кучлидир”.

Бундай алмаштиришларни А ва О фикирлашларда амалга ошириб бщлмайди. Бу ерда яна ыуйдагиларни айтиб щтиш керакки, у ёки бу кщрнишдаги тенгламаларни исботлашда нималарга эoтибор бериш керак?

А ва Е кщринишдаги тенгламаларда теорема шартидан бошлаб унинг хулосасигача бщлган ыатoий мантиыий занжирни ыуришдан иборатдир.

Масалан:“Барча диферанциалланувчи функциялар узуликсиздир.” Бу теоремани исботлашда диферанциалланувчи таoрифидан тартиб узлуксиз функция таoрифигача бщлган ыатoий логик боьланишлар занжирини ыуриш керак. Бунинг учун албатта айтилган тушинчаларнинг таoрифларини билиш зарур ва уларни предикатлар логикасида ифодалай билиш керак. I ва О кщринишдаги тенгламаларда эса, бундай занжирли боьланишларни ыуриш шарт эмас. Бу ерда бу шартларга мос масалаларни топиш ёки ыура олиш етарлидир.

Теоремаларни исбот ыилиш усуллари.

Биз юыорида киритилган тщрт хил тенгламалардан фойдаланиб, математик тенгламаларни исботлашни баoзи бир усулларини киритамиз. Бу ерда биз фаыат содда кщринишдаги усулларга тщхталиб щтамиз. Кщпроы учрайдиган исботлаш усуллар ыадимги Аристотелp даврида маoлум бщлиб келган. Шунинг учун бу усулларни одатда “Аристотелp слогизм” ларда

(слогизм-фикирнинг занжирли боьланиши) хар бир слогизм ыуйдаги логик келтириб чиыарилганлик схемасини ифодалайди. Юыорида келтирилган А, О, Е, I тщрт хил фикрлашларда учтаси иштирок этиб, улардан дастлабки иккитаси шарт, учинчиси ъулоса сифатида иштирок этади. FGH

Слогизмлардан мисол сифатида баoзиларини келтиришимиз мумкин. Энг кщп учрайдиган слогизмлардан бири ыуйдагилардир: 1.“Барча М лар Р бщлади”

2.“Барча S лар М бщлади”

3.“Барча S лар Р бщлади”.

Бу ёзув шуни англатадики, чизиы остидаги фикирлаш чизиы устда берилган фикирлашлардан келтириб чиыарилган бщлади ёки ъулосаси эканлигини билдиради. Бу ерда шартларда берилган фикрлашларда умумтасдиыловчи белгилаш бщлади.