Туб ва мураккаб сонлар, хоссалари. 1-таъриф

Туб ва мураккаб сонлар, хоссалари.
1-таъриф. Фақат иккита турли натурал бўлувчига эга бўлган натурал сон туб сон дейилади.
2-таъриф. Натурал бўлувчилари сони иккитадан ортиқ бўлган натурал сон мураккаб сон дейилади.
Бу таърифларга кўра 2, 3, 5, 7, 11, 13,... сонлар туб сонлар, 4, 6, 8, 9, 10, 12, ... сонлар эса мураккаб сонлардир. 1 сони туб сон ҳам, мураккаб сон ҳам эмас. Чунки 1 сони туб ва мураккаб сонлар таърифларини қаноатлантирмайди. Туб ва мураккаб сонларнинг баъзи хоссаларини қуйида қараб чиқамиз
1°. а> 1 мураккаб соннинг 1 дан фарқли энг кичик натурал бўлувчиси р бўлса, у ҳолда р туб сон бўлади.
Ҳақиқатан, акс ҳолда р бирор q (1 <q<p) бўлувчига эга бўлиб, р/qа/q а/q ва q < р бўлар эди. Бу эса р нинг энг кичик бўлувчи эканига зиддир.
2°. Ҳар қандай натурал а ва р туб сони ё ўзаро туб, ёки а сон р га бўлинади, яъни (a, рN, р – туб сон)((а; р)= 1, а/р).
Исботи. р туб соннинг натурал бўлувчилари 1 ва p дир. Шунинг учун (а,р)=р ёки 1. Агар (а, р)= р бўлса 6-§ даги 1-теоремага асосан а/р. Агар (а,р)= 1 бўлса, а ва р лар ўзаро туб.
3°. Агар аb кўпайтма бирор р туб сонга бўлинса, у ҳолда кўпайтувчилардан камида биттаси р га бўлинади, яъни
(a, bN) (ab/р) (а/рb/р).
Ҳақиқатан, агар а/р, яъни а сон р га бўлинмаса, у ҳолда 2-хоссага асосан (а;р)= 1 бўлади. У ҳолда 6-§ даги теоремага асосан b/р.
Бу хоссани математик индукция принципидан фойдаланиб кўпайтувчиларнинг сони уч ёки ундан ортиқ бўлган кўпайтмага нисбатан ҳам қўллаш мумкин. Бундан қуйидаги натижа келиб чиқади.
Натижа. Агар кўпайтма р га бўлиниб, унинг барча кўпайтувчилари туб сонлардан иборат бўлса, кўпайтувчилардан бири р га тенг бўлади.
1-ТЕОРЕМА. Бирдан бошқа ихтиёрий натурал сон туб сон ёки туб сонлар кўпайтмаси шаклида ёзилади, агар бу кўпайтмада кўпайтувчиларнинг ўрни эътиборга олинмаса, у ҳолда бу кўпайтма ягона.бўлади
Исботи. а> 1 бўлганда ушбу
a=p₁∙p₂∙ …∙ p_n (р_i-туб сон, ; n≥1) (1)
кўпайтманинг мавжудлиги ва ягоналигини кўрсатайлик.
Ихтиёрий натурал сонни (1) кўринишда ёзиш бу сонни туб сонлар кўпайтмасига ёйиш дейилади
Маълумки, ҳар қандай натурал соннинг 1 дан фарқли энг кичик натурал бўлувчиси туб сон бўлади. Демак,
а=р₁∙а₁ (2)
тенглик ўринли. Агар (2) да a₁, туб сон бўлса, у ҳолда теорема исбот бўлади. Агар а, мураккаб сон бўлса, унинг p₂ туб бўлувчиси бўлиб, у ҳолда а₁= р₂∙а₂ бўлади. Бундан а=р₁∙р₂∙а₂ тенглик ҳосил бўлади. Агар а₂ туб сон бўлса, у ҳолда теорема исбот бўлади.
Aгар а₂ мураккаб сон бўлса, бу жараённи а_п=1 бўлган ҳолгача давом эттирамиз, яъни қуйидаги тенгликларни ҳосил қиламиз:
а=р₁∙а₁
а₁= р₂∙а₂
а₂= р₃∙а_{3
……………………..}
a_n-1= р_n∙а_n
Бу тенгликларни ҳадлаб кўпайтирсак, а = р₁∙р₂∙р₃∙…∙р_n (1) ёйилма ҳосил бўлади. Энди (1) ёйилманинг ягоналигини исбот қилайлик. Фараз қилайлик а сон (1) дан бошқа
а = q₁∙q₂∙_…∙q_s (3)
ёйилмага ҳам эга бўлсин. (1) ва (3) ларнинг чап томонларининг тенглигидан
р₁∙р₂∙…∙р_n=q₁∙q₂∙_…∙q_s (4)
тенгликни ҳосил қиламиз. (4) нинг чап томонидаги ҳар бир р_i ( ) туб сон, унинг ўнг томонини бўлади. Лекин барча q_i( ) лар ҳам туб сондир.
Натижага асосан q_i ларнинг бири бирорта р_i га ва аксинча р_k ларнинг бири бирорта q_l га тенг бўлади. Демак, (1) ва (4) ёйилмаларнинг ҳар бири тенг сондаги туб кўпайтувчилардан тузилган.
Улардаги бирор туб сон ёйилманинг маълум томонида иккинчи томондагига нисбатан кўпроқ қатнашсин десак, у ҳолда (4) ёйилманинг иккала томонини р га бир неча марта қисқартириб, унинг бир томоиида р мавжуд, иккинчи томонида эса р қатнашмаган ҳолга келамиз. Бунинг бўлиши мумкин эмас. Демак, (1) ёйилма ягона экан.
(1) ёйилмада баъзи бир кўпайтувчилар ўзаро тенг бўлиши ҳам мумкин. Фараз қилайлик, (1) да p₁, туб сон α₁ марта, р₂ туб сон α₂ марта ва ҳ. к. р_к туб сон α_к марта қатнашсин, У ҳолда (1) ёйилма
(5)
кўринишда оўлади. (5) кўриниш а сонининг каноник ёйилмаси дейилади.

11 §. Туб сонлар тўплами

Теорема Туб сонлар тўплами чексиздир.
Қуйида бу теореманинг икки хил исботини берамиз.
1 Теореманинг Евклид исботини келтирайлик. Фа- раз қилайлик туб сонлар сони чекли бўлиб, улар ўсиш тартибида жойлашган р_и р₂,...,Рп кўринишдаги туб сонлардан иборат бўлсин.
<Эп^яаРг-Р*-’-Рп+ I
сонни оламиз. Бу соннинг энг кичик бўлувчисини р_т десак, у албатта туб сон бўлади (т\б сонларнинг 1- хоссаси) ва V р_ь ларнинг биронтасига ҳам тенг бўл- майди. р_т сон р^ {I— I,п) туб сонларнинг бирортасига ҳам тенг бўла олмайди, акс ҳолда ((),_г ва РгРъ' 'Рп ларнинг р_т га бўлинишидан. 1 нинг ҳам р_т га булнни- ши келиб чиқар эди. Бу эса мумкин эмас. Демак, фа- разимиз нотўғри экан.
<3_;г туб ссн бўлса, у ҳолда > р_{ (*= \,п) ва ян- ги туб сон ҳосил бўлади. Бу ҳолда ҳам фаразимнз ио- тўғри. Демак, туб сонларнинг сони чексиз, яъни туб сонлар тўплами чексизди)).
Евклиддан сўнг туб сонлар назариясини ривсж- лангиришда энг катта мува(})фақиятларни қўлга ки- ритган математмк Эйлердир. Эйлер магематик анализ ёрдамида туб сонлар сони чексиз кўп эканини кўрсат- ди. Шундан сўнг юнлар назэриясида янги соҳа—ана- литик сонлар назаринси юза1а келди.
Теореманинг Эйлер исботини келтирайлик. Чек- сиз камаювчи геометрик прогрессия ҳаллари йиғинди сини топиш формуласига асосан ихтиёрнй р туб сон учун қуйидаги тенгликни ёза оламиз:
~-== 1 + ~ + — + ... (1)
Тсоремани тескаридан исбог қилайлик. Туб сонлар со- ни чекли бўлиб, улар /?, р₂,...,р_к бўлсин. Ҳар бир /?, {I = 1,А) учун (1) каби қуйидаги қагорни ёзиб оламиз:
нинг ўнг томонн яқинлашувчи қатордан иборст ва



чекли сондаги яқинлашувчи қаторларни ҳадлаб кўпай- тириш мумкин. Математик анализдан маълумки, кў- пайтиришдан ҳосил бўлган қатор ( юқоридаги тасдиқ- ларда) яна яқиндашувчи бўлади. Натижада қуйидаги тенглик ҳосил бўлади:
Бу ерда йиғинди манфиймас а,, а₃,. ..,а_й ларнинг мум- кин бўлган барча комбинациялари бўйича тузилади.
нинг ўнг томонидаги махраж мураккаб сзннинг каноник кўринишидан ибораг бўлиб, р_и р₂ р^ лар эса унинг туб бўлувчиларидир. Фаразимиз бўйича р_ь лардан бошқа туб сон йўқ. Демак, (3) нинг ўнг томо- нидаги махраж умуман барча натурал сонларни ифо- далайди. Ҳосил бўлган яқинлашувчи қатор ҳадларини махражнинг ўсиши тартибида жойлаштириб (булар бар- часи мусбат бўлгани учун шундай қила оламиз),
каби гармоник қаторга эга бўламиз:
га асосан, гармоник қатор яқинлашувчи бўлиб,унинг йиғиндиси чекли |сонга тенг. Лекин математик анализдан маълумки гармоник қатор узоқ- лашувчи эди. Биз қарама-қаршиликка учрадик Бу эса туб сонлар сони чекли деган фаразимизнинг нотўғри