Туб ва мураккаб сонлар, хоссалари. 1-таъриф

§. Эратосфен ғалвири
Туб сонлар тўпламининг чексизлигини, биз юқори- да кўрсатганимиздек, Эйлер ва Евклид исбот қилган. Агар берилган а сон етарлича катга бўлса, унинг туб ёки мураккаб эканини аниқлаш муҳим масалалардан биридир. Бу масалани ҳал эгишда қуйидаги 1еорема- нинг моҳияти катта.
Теорема. а натурал соннанг энг кияик туб бў- лувниса Vа дан катта эмас. Исботи. Фараз қилайлик /?, туб сон а нинг энг кичик бўлувчиси бўлсин. У ҳолда а — р^а_х бўлиб, а_г>р, бўлади. Бундан а — р_ха^>р\ ёки /?₄<1/а. Бу теорема п дан катта бўлмаган туб сонларнинг жадвалини тузишга имкон беради. Бу усулни бириичи бўлиб грек математиги ва астрономи Эратосфен (эра- мизгача 276—193 йиллар) кўрсатган. Бу усул қуйида- гичадир: п гача бўлган барча натурал сонлар ёзиб бо- рилади. Бу қагорда туб сонлар таърифини қаноатлан- тирувчи биринчи сон, яъни 2 ажратиб олинади. Сўнгра бу қатордаги 2 дан бошқа 2 га бўлинадиган сонлар ўчи- рилаци. 2 дан бошқа биринчи ўчмаган сон 3 дир. Ке- йин 3 ни қолдириб, 3 га бўлинадиган сонларни ўчира- миз. 3 туб сон. Бу икки жараёндаи сўнг ўчмай қолган биринчи сон (2 ва 3 дан ташқарп) 5 дир. 5 ни қолли- риб, 5 га бўлинадиган сонларни ўчирамиз. 5 туб сон. Бу жараённи ■/п лан катта бўлмаган р туб сонгача давом эттириб р га бўлинадиган сонларпи ўчирамиз. Натижада ўчирилмай қолган сонлар п дан катта бўл- маган туб сонлар бўлади. Бундай усул билан танлаб олинган туб сонлар жадвали „Эрагосфен ғалвири" но- ми билан маълумдир. Ўз усулини Эратосфен дастлаб қуйидагича ишлатган.
У п гача бўлган барча сонларни мум билан қоплан- ган тахтачага ёзиб чиққан. Натижада тахтача ғалвирга ўхшаб қолган. Тахтачадаги тешилмай қолган ўринлар- даги сонлар туб сонлардир. Эратосфен ўз усули билан минггача бўлган туб сонлар жадвалини тузган. Ҳозир- ги вақтда электрон ҳисоблаш машиналари ёрдамида исталган сонгача бўлган туб сонлар жадвалини тузиш мумкин. Мисол. 2 дан 100 гача бўлган натурал сонлар ора- сидаги туб сонлар жадвалини тузинг. Бунинг учун 2 дан 100 гача бўлган сонларни кет- ма кет ёзиб чиқамиз.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,24,25,26,27, 28, 29, 30, 31. 32,33,34,35,36,37,38,39,40,41, 42,43,44,45,46,47,48,49, 50, 51, 52, 53, 54, 55,56, 57,58,59, 60,61,62, 63. 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
Дастлаб 2 сонини олиб, кетма-кетликдаги 2 дан
бошка барча жуфт сонларни ўчирамиз. У ҳолда қуйи"
даги кетма-кеглик ҳосил бўлади:
2, 3, 5, 7, 9, 11, 13. 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33. 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61. 63, 65. 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99.
Энди мазкур кетма-кетликдан 3 нинг ўзидан бошқа
унга бўлинадиган сонларни ўчирамиз. Натижада, ушбу
2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 1/, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97
кетма-кетликка эга бўламиз. Юкоридаги мулоҳазаларни 5 га нисбатан баж арсак,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83. 89, 91, 97
кетма-кетлик келиб чиқади. Ва ниҳояг сўнгги кетма-
кетликда 7 нинг ўзидан бошқа унга бўлинадиган сон-
ларни ўчирсак,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97
кегма-кетликни ҳосил қиламиз. Бу кегма-кетликнинг
барча элемецтлари туб сонлардан иборат экани ўз-
ўзидан маълум. Демак, 100 гача бўлган натурал сон-
лар орасида 26 та туб сон бор экан.

§. Бутун сонлар ҳалқасида бўлиниш

муносабати ва унинг хоссалари
§дакўриб ўтганимиздек, бутун сонлар тўпла- мида
B + х *=а (1)
тенглама доимо ечимга эга бўлади Лекин бутун сон- лар тўплами бўлиш амалига нисбатан ёпиқ бўлмаган- лигидан бу тўпламда
B-х — а (2)
тенглама ҳар доим ҳам ечимга эга бўлавермайди. Ма- салан, 2а:=7 тенгламани тўғри тенгликка айлантирув- чи бутун сон йўқ. Лекин шундай а ва B бутун сонлар мавжудки, улар учун — нисбат доимо бутун сон бў лади. Масалан,
а) B=±\ бўлса, у ҳолда — = ±а бўлади;
б) а = 0 бўлиб, Ьф0 бўлса, у ҳолда у = 0 бўлади;
в) а—Ьк бўлиб, к бутун сон ва B=£0 бўлса, у ҳол да — бутун сон бўлади.
таъриф. Агар а. B={= 0 сонлар учун
а==Ьд (3)
шартни қаноатлантирувчи <7 бутун сон мавжуд бўлса, у ҳолда а сон B сонга бўлинади ёки B сон а ни бўла- ди дейилади.
Агар а сон B га бўлинса, у ҳолда а/B ёки а\B кў- ринишларда белгиланади. Кўп ҳолларда а\B бўлса, B сон а соннинг бўлўвниси ҳам дейилади. (3) тенглик- даги а бўлинўвяи, B бўлувяи, эса бўлинма дейилади.
еорема. Агар а={= 0 ва Ьф 0 бўлиб, а = Ьц тенгликни цаноатлантирўвш <7 сон мавжуд бўлса у ягонадир
Исботи. Тескарисини фараз қиламиз, яъни (3) шартни қаноатлантирувчи камида иккита ва турли <7, ва сонлар мавжуд бўлсин, яъни а = &<7,; а — Ьц₂ тенгликлар ўринли бўлсин. Бу тенгликлардан Ьц, = Ьц₂ тенглик қелиб чиқади. Бундан B{ц_х — ц₂) = ку бўлади. Лекин Ьф 0 бўлганидан ва I, да нолнинг бўлувчиси бўлмаганлигидан <у, — <7₂—0, <7, = <у₂ келиб чиқади. Бу эса қилган фаразимизга зид. Демак, <7 бўлинма ягона экан.
Бутун сонлар тўпламида киритилгац бўлиниш му- цосабати қуйидаги хоссаларга эга:
1°. (\ў-а£2, аф0) (0/а);
2°. (уа(/2, а=/=0) (а/а) (реф лексивлик);
бўлиб, лс,. х₂, ..,х_г ихтиёрий. бутун сонлар бўлса, у ҳолда (Ь_лх, + Ь₂х₂ + ... + Ь_гк_г)\а бўлади.
Биз бу хоссалардан охиргисини исбот қилайлик. Бў- линиш таърифига асосан
B, — ау, (I = 1 ,г)■ (4)
(4) тенгликлардан ҳар бирини мос равишда х, га кў- пайтириб, натижаларини ҳадлаб қўшсак,
тенглик ҳосил бўлади. Охирги тенглик B,х, нинг а
сонга бўлинишини кўрсатади.