Туб ва мураккаб сонлар, хоссалари. 1-таъриф

2-ТЕОРЕМА. 4n+1 (nN) кўринишдаги туб сонлар чаксиз кўп.
1 дан катта ҳар қандай k натурал сон учун k! жуфт сон бўлади. У ҳолда (k!)²+1 тоқ сон бўлиб, унинг энг кичик бўлувчиси ҳам тоқ туб сондир. Бу тоқ туб сон ё 4n+1, ёки 4n+3 кўринишга эга бўлади, бу ерда п мусбат бутун сон.
Агар энг кичик туб бўлувчини р десак, р>k бўлади. Акс ҳолда, яъни р≤k шартни қаноатлантирганда эди (1·2·3·...·k)²+1=рt (t – мусбат бутун сон) тенгликда қавс ичидаги кўпайтувчилардан бири р га тенг бўлиб, бундан 1 нинг р га бўлиниши келиб чиқади. Бунинг бўлиши мумкин эмас, чунки р туб сон эди. Айтайлик р=4n+3 кўринишдаги туб сон бўлсин. У ҳолда (k!)²=а десак, (а²ⁿ⁺¹ + 1) /а + 1=((k!)^2(2n+1)+1)/ (k!)²+1 келиб чиқади. Лекин 2(2п+1)=4п+2=(4n+3)-1=p-1 бўлганидан ва (k!)²+1/p га кўра (k!)^р+(k!)/р бажарилади.
Охирги муносабатнинг ((k!)^р+(k!))/р ўринли эканини билдиради.
((k!)^р–k!)/р муносабат ўринли. (Исботи Ферма теоремасидан келиб чиқади.) Демак, ((k!)^р+k!)/р  ((k!)^р–k!)/р дан ((k!)^р+k!)/р– ((k!)^р–k!)=2k! бўлиб, 2k!/р бўлади.
Охирги муносабатнинг бўлиши мумкин эмас, чунки 2k! жуфт сон бўлиб, р эса k дан катта тоқ туб сон, Демак, р туб сон 4п + 1 кўрииишга эга экан. Шундай қилиб биз ҳар бир п > 1 натурал сонга битта 4п + 1 кўринишдаги туб сон мос келишини кўрсатдик. Бу туб сон (k!)²+1 нинг энг кичик туб бўлувчисидир. Лекин натурал сонлар тўплами чексиздир. Демак, 4n+1 кўринишдаги туб сонлар ҳам чексиз кўп экан.
3-ТЕОРЕМА. 4n+3 (nN) кўринишдаги прогрессияда туб сонлар чексиз кўп.
Теоремани исботлашдан олдин қуйидаги иккита тасдиқни келтирамиз:
1) Ўз-ўзидан маълумки 2 дан катта бўлган ҳар бир туб сон тоқ сон бўлади. Акс ҳолда у иккига бўлинган бўларди.
2) Бундан ташқари 4п +1 шаклдаги ҳар қандай иккита соннинг кўпайтмаси яна 4п +1 кўринишда бўлади, чунки
(4a+1)(4b+1)=16ab+4a+4b+1=4(4ab+a+b)+1=4k+1
бу ерда k=4ab+а+b.
Энди 3-теоремани исботлайлик. Фараз қилайлик 4n+3 кўринишдаги туб сонлар сони п та бўлиб, улар р₁, р₂,…. ,р_п бўлсин. Бундай ҳолда қуйидаги ифодани тузамиз: т = 4 (р₁·р₂· ... · р_п)–1= 4 (р₁·р₂· ... · р_п–1)+3. Бу ерда фақат қуйидаги икки ҳол юз бериши мумкин:
а) т — туб сон;
б) m — мураккаб сон.
а) т туб сон бўлса, уни q орқали белгилайлик. У ҳолда 4 (р₁·р₂· ... ·р_п–1) + 3 бўлгани учун q≠ р_i ( ) бўлади. Демак, р₁·р₂·...·р_п –1= n₁ десак, у ҳолда q=4n₁ + 3 кўринишдаги сон туб сон экан. Бу ҳолда фаразимиз нотўғри.
б) т мураккаб сон бўлсин. Бундай ҳолда т =4×( р₁·р₂·...·р_п –1)+3 соннинг туб бўлувчиларининг барчаси ҳам 4п+1 шаклдаги сон бўлавермайди. Акс ҳолда т нинг ўзи ҳам 4п+1 кўринишдаги сон бўларди. Шунинг учун т нинг камида битта туб бўлувчиси 4n+3 кўринишда бўлиб, у р₁, р₂,…. ,р_п ларнинг бирортасига ҳам тенг эмас, акс ҳолда 4(р₁·р₂·...·р_п)–1=q₁·q₂·...·q_k·…·qt бўлганда эди –1 сони p_k=4n_k+3 га бўлинган бўлар эди.
Шундай қилиб, биз икки ҳолда ҳам р₁, р₂,…. ,р_п лардан фарқли 4n+3 кўринишдаги туб сонни ҳоснл қилдик. Бу эса фаразимизга зид.
Демак, 4п + 3 кўринишдаги туб сонлар чексиз кўп экан.
Л Е М М А. 6n+5 кўриншидаги ҳар қандай натурал сон камида битта 6n+5 кўринишдаги туб бўлувчига эга бўлади.
ИСБОТИ. 2 ва 3 га бўлинмайдиган ҳар қандай натурал сон ё 6n+1, ёки 6n+5 кўринишдаги сонга бўлинади. Иккинчи томондан 6n+ 5 нинг барча бўлувчилари фақатгина 6n+1 кўринишдаги сон бўлавермайди, акс ҳолда (6/, + 1)(6/₂ + I) «= 36/, /₂ + 6/, + 6/₂ + + 1=6 (6г, ■ /₂ + /, + и) + 1 =“ 6/ + 1 бўларди.
Демак, 6/г + 5 кўринишдаги натурал сон камида битта 6/?г + 5 кўринишдаги туб бўлувчига'эга экан.
теорема. 6/г + 5 кўринишдаги туб сонлар яек- сиз кўп
Исботи. Ихтиёрий B натурал сонни оламиз Агар £= 1 бўлса, 6 • 1! — 1 = 5 = 6 • 0 + 5 тенглик бажари- лади.
Фараз қилайлик й > 1 бўлсин. У ҳолда 1 + т каби езиш мумкин бўлганидан 6&| — 1 =6 (1 + т)\ — — 1 = 6
Демак, к ҳар қандай мусбат бутун сон бўлганда ҳам 6*! — 1 доимо 6/+ 5 кўринишга эга экан. 614-5 кўринишдаги сонларнинг 1 дан фарқли энг кииик мус- бат бўлувчиси р туб сон эканлиги леммздан маълум.
6к\ — 1 = 6 (1 • 2 • 3 • ... ■ к) — 1 =~р1 бўлганидан (бу ерда / бутун мусбат сон) р> к экани келнб чиқа- ди.
Демак, ҳар бир к натурал сон учун к дав катта ва 6«+ 5 кўринишга эга р туб сон мавжуд - экан. Нату- рал сонларнинг чексиз кўплигига биноан 6«45 кўри- нишдаги туб сонлар ҳам чексиз кўи дегав хулосага келамиз.
10-мавзу: Ратционал сонларни чекли занжирли каср шаклида ифодалаш муносиб касрлар.
5-мавзудаги (1) тенгликлар системасининг биринчи тенглигини b га, иккинчисини r₂ га, учинчисини r₃ га ва ҳоказо энг охиргисини r_п га бўлиб, қуйидагилaрга эга бўламиз:


……………………………..

Бундан

Тенгликлар ҳосил бўлади. Агар нисбатларни 5-мавзудаги (1) системадан топиб, юқоридаги ифодаларга нисбат қуйидаги кўринишни олади:
(1)
нисбатнинг (1) кўриниши уни узлуксиз (чекли занжирли) касрги ёйиш дейилади. Занжирли каср қуйидагича ҳам белгилаланади:

ёки

лар занжирли касрнинг тўлиқсиз бўлинмалари дейилиб, улар натурал сонлар ва q_п>1 бўлади. q₁, эса рационал соннинг бутун қисми дейилади.
Қуйидаги уч ҳол бўлиши мумкин:
а) а >b бўлса, q₁> 0 бўлади;
б) а бўлганда эса, q₁= 0 бўлади;
в) а<0 бўлса, нисбатни (k>0)
кўринишда ёзиб оламиз. Бу ерда тўғри мусбат каср бўлади. Натижада қуйидаги ёйилма ҳосил бўлади:

1-ЭСЛАТМА. Ҳар қандай бутун сонни бир бўлакли узлуксиз каср деб қараш мумкин.
Масалан, 5 = (5). шаклдаги (а > 1) каср эса икки бўлакли узлуксиз каср деб қаралади.
2-ЭСЛАТМА. Агар энг сўнгги q_n қисмий махражга ҳеч қанадай шарт қўйилмаган бўлса, рационал соннинг узлуксиз касрга ёйилмаси иккита ҳар хил кўринишга эга бўлади.
1. Агар q_n> 1 бўлса, у ҳолда ягона бўлади.
2. Фараз қилайлик q_n> 1 шарти қўйилмаган бўлсин. У ҳолда тенгликка асосан ни ёзиш мумкин. Бу ерда ўнг томондаги ёйилмада бўлаклар сони чапдаги ёйилма бўлаклари сонидан биттага ортиқдир.
МИСОЛ.
Энди соннинг бутун ва каср қисми устида тўхталиб ўтайлик. Қолдиқли бўлиш теоремасига асосан ҳар қаидай аZ ва тN лар учун
a=mq+r (0≤r
каби боғланиш мавжуд ва ягона эди. (2) нинг иккала қисмини т га бўлиб қуйидагини ҳосил қиламиз:
(3)
Демак, q сони каср сондан кичик бўлган бутун сонларнинг энг каттаси экан. Бу усулда аниқланган q сон рационал соннинг бутун қисми дейилади ва у q= каби белгиланади. сон эса рационал соннинг каср қисми дейилиб, у каби белгиланади.
α соннинг бутун қисмини (3) қоида асосида аниқлаш соннинг бутун қислшна ажратши деб аталади.
Агар α ҳақиқий сон бўлса, унинг бутун қисми қуйидаги шарт асосида ажратилади:
k≤α, бу ерда k=[α].
Ҳар қандай α ҳақиқий сон учун қуйидаги тасдиқлар рост:
{α}= α-[α], α=[α]+{α}, 0≤{α}<1.